空间向量与立体几何-单元测试-有答案

空间向量与立体几何1．以下四组向量中，互相平行的组数为()①a＝(2,2,1)，b＝(3，－2，－2)；②a＝(8,4，－6)，b＝(4,2，－3)；③a＝(0，－1,1)，b＝(0,3，－3)；④a＝(－3,2,0)，b＝(4，－3,3)A．1组C．3组B．2组D．4组1解析：∵②中a＝2b，∴a∥b；③中a＝－b，3∴a∥b；而①④中的向量不平行．答案：B2．在以下命题中，不正确的个数为()①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空→→→→间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝2OA－2OB－OC，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一组基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A．2个C．4个B．3个D．5个解析：①|a|－|b|＝|a＋b|a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C3．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是()→→→→A.PC与BDB.DA与PB→→→→C.PD与ABD.PA与CD1解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设矩形ABCD的长、宽分别为a，b，PA长为c，则A(0,0,0)，B(b,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，P(0,0，c)．→→→→→则PC＝(b，a，－c)，BD＝(－b，a,0)，DA＝(0，－a，0)，PB＝(b,0，－c)，PD＝(0，a，－c)，→→→AB＝(b,0,0)，PA＝(0,0，－c)，CD＝(－b,0,0)．→→∴PC·BD＝－b2＋a2不一定为0.→→→→→→DA·PB＝0，PD·AB＝0，PA·CD＝0.答案：A1b等4．已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则(6a)·2于()A．15C．－3B．3D．51b＝3a·解析：(6a)·b＝3(3e1＋2e2－e3)·(e1＋2e3)＝9|e1|2－6|e3|2＝3.2答案：B25．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD与面α成30°角，则C、D间的距离为()A．1C.2B．2D.3→→→→→→→→→→→→→解析：|CD|2＝|CA＋AB＋BD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝1＋1＋1＋0→＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD|＝2.答案：C6．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为()A．(－2,2,0)11－，，0C.22B．(2，－2,0)11，－，0D.22→→解析：由OA＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则BH＝(－λ，λ－1，－1)．→→又BH⊥OA，∴BH·OA＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，111－，，0.即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H222答案：C7．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°C．30°B．60°D．0°解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(cos2α＋sin2α＋1)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．答案：A8．已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()32A.3C.53B.2323D.3解析：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．则→→111，1，0，F0，1，，D1(0,0,1)，l所以AD1＝(－1,0,1)，AE＝－，1，0.A(1,0,0)，E222设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则→n·AE＝0，→n·AD1＝0，－x＋z＝0，x－＋y＝0.2∴x＝2y＝z.取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∵cos〈n，u〉25＝，∴sin〈n，u〉＝.33答案：C9．在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A-PB-C的平面角的正切值为()A.6C.66B.3D.624解析：设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(0,2,0)，C(3，1,0)，P(0,0,2)，→∴BP＝(0，－2,2)，→BC＝(3，－1,0)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量．→BP·n＝0，则→BC·n＝0，－2y＋2z＝0，即3x－y＝0.令y＝1，则x＝即n＝3，z＝1.33，1，1.3易知m＝(1,0,0)是平面PAB的一个法向量．337m·n则cos〈m，n〉＝＝＝.|m||n|2171×3∴正切值tan〈m，n〉＝6.答案：A→→→→→10．已知OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA·QB取得最小值时，点Q的坐标为()131A.2，4，3133B.2，2，45448C.3，3，3447D.3，3，3→解析：∵Q在OP上，∴可设Q(x，x,2x)，则QA＝(1－x,2－x,3－2x)，→QB＝(2－x,1－x,2－2x)．→→∴QA·QB＝6x2－16x＋10，→→4∴x＝时，QA·QB最小，3448这时Q3，3，3.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是__________．解析：因为a与b的夹角为钝角，于是－1＜cos〈a，b〉＜0，因此a·b＜0，且a与b的夹角不为π，即cos〈a，b〉≠－1.55－2，∪，＋∞.解得x∈3355－2，∪，＋∞答案：331112．如图所示，已知正四面体A-BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成的角的44余弦值为__________．6→→→→→1解析：ED＝EA＋AD＝BA＋AD，4→→→→→1BF＝BC＋CF＝BC＋CD，4→→→→ED·BFcos〈ED，BF〉＝→→|ED|·|BF|＝1→→→1→BA＋AD·4BC＋4CD→→→→1221·BA＋ADBC＋CD444＝.134答案：1313．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝__________.－x＋2y－12＝0，解析：由题意知x－4－4z＝0，－1－2y＋3z＝0，解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.答案：(－64，－26，－17)14．已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，→→→→→→→→→点G在线段MN上，且MG＝3GN，现用基向量OA、OB、OC表示向量OG，并设OG＝x·OA＋y·OB＋→z·OC，则x、y、z的和为__________．7→→→→→→→→→→13131→→1→13333解析：OG＝OM＋MG＝OA＋MN＝OA＋－OA＋OC＋CB＝OA－OA＋OC＋OB－24242848822→→→→133OC＝OA＋OB＋OC，888133∴x＝，y＝，z＝.8887∴x＋y＋z＝.87答案：8三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知a＝(1,2，－2)．(1)求与a共线的单位向量b；(2)若a与单位向量c＝(0，m，n)垂直，求m、n的值．解：(1)设b＝(λ，2λ，－2λ)，而b为单位向量，∴|b|＝1，即λ2＋4λ2＋4λ2＝9λ2＝1.1∴λ＝±.(4分)3122122，，－或b＝－，－，.(6分)∴b＝333333c＝0，1×0＋2m－2n＝0，a·(2)由题意，知|c|＝1，m2＋n2＋02＝1，m＝22，解得2n＝2，m＝－22，或2n＝－.2(12分)16．(12分)如下(左)图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别为AC、AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如下(右)图．8(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．解：(1)∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC.∴DE⊥A1C.又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE.(4分)(2)如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则A1(0,0,23)，D(0,2,0)，M(0,1，3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．→→设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1B＝0，n·BE＝0.→又A1B＝(3,0，－23)，9→BE＝(－1,2,0)，3x－23z＝0，∴－x＋2y＝0.令y＝1，则x＝2，z＝3，∴n＝(2,1，3)．设CM与平面A1BE所成的角为θ.→∵CM＝(0,1，3)，→→n·CM42∴sinθ＝|cos〈n，CM〉|＝||＝＝.→8×42|n|·|CM|π∴CM与平面A1BE所成角的大小为.(12分)417．(12分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°.10解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系．设AC∩BD＝N，连接NE，则N22，22，0，E(0,0,1)，→∴NE＝－22，－22，1.又A(2，2，0)，M22，22，1，→∴AM＝－22，－22，1.→→∴NE＝AM，且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.(6分)(2)设P(t，t,0)(0≤t≤2)，→→则PF＝(2－t，2－t,1)，CD＝(2，0,0)．→→又∵PF与CD所成的角为60°.|2－t·2|2－t2＋2－t2＋1·2＝12，解之得t＝22，或t＝322(舍去)．故点P为AC的中点．(12分)11︵18．(14分)如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，C是AB的中点，D为AC的中点．(1)证明：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B-PA-C的余弦值．解：(1)证明：如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建11－，，0.立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，2)，D22→→设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n1·OD＝0，n1·OP＝0，11－2x1＋2y1＝0，得(4分)2z1＝0.∴z1＝0，x1＝y1.取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．→→设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n2·PA＝0，n2·PC＝0，12－x2－2z2＝0，得y2－2z2＝0.∴x2＝－2z2，y2＝2z2，取z2＝1，得n2＝(－2，2，1)．∵n1·n2＝(1,1,0)·(－2，2，