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高中数学选修2-1第一章单元测试题《空间向量与立体几何》时间:120分钟满分:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是()①AB+2BC+2CD+DC;②2AB+2BC+3CD+3DA+AC;③AB+CA+BD;④AB-CB+CD-AD.A.①②B.②③C.②④D.①④2.已知向量a=(2,4,5)、b=(3,x,y)分别是直线l1、l2的方向向量,若→→→→→→→→→→→→→→→→l1∥l2,则()A.x=6,y=15B.x=3,y=1515C.x=3,y=15D.x=6,y=223.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为()1111A.(-2,2,0)B.(2,-2,0)C.-,,0D.,-,022224.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则AB与AC的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°5.在以下命题中,不正确的个数为()①|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;②若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb;③对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=2OA-2OB-OC,则P,A,-1-→→→→→→B,C四点共面;④若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底;⑤|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|.A.5B.4C.3D.21→16.已知向量AM=0,1,,AN=-1,,1,则平面AMN的一个法向量是22()A.(-3,-2,4)B.(3,2,-4)C.(-3,-2,-4)D.(-3,2,-4)7.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,则向量a为()A.(1,1,1)B.(-1,-1,-1)或(1,1,1)C.(-1,-1,-1)D.(1,-1,1)或(-1,1,-1)8.已知三棱锥S-ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()A.3573B.C.D.4444→→→9.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.90°B.60°C.45°D.30°10.已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()22523A.B.C.D.333311.在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,PA⊥平面ABC,且PA=AB,则二面角A-PB-C的平面角的正切值为()A.6B.3C.66D.62-2-12.已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,→→则当QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为()131133448447A.,,B.,,C.,,D.,,243224333333二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则当|AB|取最小值时,x的值等于________.14.正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是________.15.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,则λ=________.16.如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以{AB,AC,AD}为基底,则GE=________.→→→→→→→→三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:AC⊥B1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.-3-18.(本小题满分12分)如图,在空间直角坐标系中,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,在线段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出AF,若不存在,说明理由.19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.-4-20.(本小题满分12分)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别为AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)求证:A1C⊥平面BCDE;(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小.图1图221.(本小题满分12分)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.(1)求证:AM∥平面BDE;(2)试在线段AC上确定一点P,使得PF与CD所成的角是60°.-5-22.(本小题满分12分)如图,在圆锥PO中,已知PO=2,⊙O的直径AB=2,是AB的中点,D为AC的中点.(1)证明:平面POD⊥平面PAC;(2)求二面角B-PA-C的余弦值.-6-C高中数学选修2-1第一章单元测试题《空间向量与立体几何》参考答案时间:120分钟满分:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是()①AB+2BC+2CD+DC;②2AB+2BC+3CD+3DA+AC;③AB+CA+BD;④AB-CB+CD-AD.A.①②B.②③C.②④D.①④解析:①中,原式=AB+2BD+DC=AB+BD+BD+DC=AD+BC,不符合题意;②中,原式=2(AB+BC+CD+DA)+(AC+CD+DA)=0;③中,原式=CD,不符合题意;④中,原式=(AB-AD)+(CD-CB)=0.故选C.答案:C2.已知向量a=(2,4,5)、b=(3,x,y)分别是直线l1、l2的方向向量,若l1∥l2,则()A.x=6,y=15B.x=3,y=C.x=3,y=15D.x=6,y=152152→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→3xy15解析:∵l1∥l2,∴a∥b,则==,∴x=6,y=.2452答案:D3.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H-7-满足BH⊥OA,则点H的坐标为()A.(-2,2,0)B.(2,-2,0)1111C.-,,0D.,-,02222解析:由OA=(-1,1,0),且点H在直线OA上,可设H(-λ,λ,0),则BH=(-λ,λ-1,-1).又BH⊥OA,∴BH·OA=0,即(-λ,λ-1,-1)·(-1,1,0)=0,即λ+λ-1=0,111解得λ=,∴H-,,0,故选C.222答案:C4.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则AB与AC的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:AB=(0,3,3),AC=(-1,1,0),|AB|=32,|AC|=2,AB·AC=3,→→1=,→→2|AB||AC|→→→→→→→→→→→→→∴cos〈AB,AC〉=AB·AC→∴〈AB,AC〉=60°.答案:C5.在以下命题中,不正确的个数为()①|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;②若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb;③对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=2OA-2OB-OC,则P,A,→→→→→→B,C四点共面;④若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个-8-基底;⑤|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|.A.5B.4C.3D.2解析:①|a|-|b|=|a+b|a与b的夹角为π,故是充分不必要条件,故不正确;②b需为非零向量,故不正确;③因为2-2-1≠1,由共面向量定理知,不正确;④由基底的定义知正确;⑤由向量的数量积的性质知,不正确,故选B.答案:B1→10,1,-1,,1,则平面AMN的一个法向量是6.已知向量AM=,AN=22()A.(-3,-2,4)B.(3,2,-4)C.(-3,-2,-4)D.(-3,2,-4)解析:设平面AMN的法向量n=(x,y,z),→n·AM=0,则→n·AN=0,→zy=-,2即3x=z,4令z=4,则n=(3,-2,4),由于(-3,2,-4)=-(3,-2,4),可知选项D符合.答案:D7.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|=3,且a分→→别与AB,AC垂直,则向量a为()A.(1,1,1)B.(-1,-1,-1)或(1,1,1)C.(-1,-1,-1)D.(1,-1,1)或(-1,1,-1)解析:设a=(x,y,z),AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2)→→则-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0.x2+y2+z2=3,解得a=(1,1,1)或(-1,-1,-1).-9-答案:B8.已知三棱锥S-ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()A.C.35B.4473D.44解析:建系如图,则S(0,0,3),A(0,0,0),B(3,1,0),C(0,2,0).∴AB=(3,1,0),SB=(3,1,-3),SC=(0,2,-3).设面SBC的法向量为n=(x,y,z).→n·SB=3x+y-3z=0,则→n·SC=2y-3z=0.→→→令y=3,则z=2,x=3,∴n=(3,3,2).|n·AB|3+33==.→4×24|n||AB|→设AB与面SBC所成的角为θ,则sinθ=答案:D9.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.90°B.60°C.45°D.30°解析:建系如图,设AB=1,则B(1,0,0),A1(0,0,1),C1(0,1,1),A(0,0,0).-10-∴BA1=(-1,0,1),AC1=(0,1,1).→→→→∴cos〈BA1,AC1〉=BA1·AC1|BA1||AC1|→→→→11==.2·22∴〈BA1,AC1〉=60°,即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.答案:B10.已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()22A.B.33→→-11-C.523D.33解析:以D为坐标原点,以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角11坐标系,如图,则A(1,0,0),E,1,0,F0,1,,D1(0,0,1),221所以AD1=(-1,0,1),AE=-,1,0.2设平面AEFD1的法向量为n=(x,y,z),→n·AD=0,则→n·AE=0,1→→-x+z=0,x-2+y=0.∴x=2y=z,取y=1,则n=(2,1,2),而平面ABCD的一个法向量为u=(0,0
本文标题:高中数学选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题(含答案)
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