非线性学简介-中国物理学会XXXX年秋季学术会议

非线性学简介•1.引入（中文）•2.举例（英文）•3.前景（英文）Introduction•非线性学是一门研究非线性系统的共性，探索事物复杂性的新学科(scienceofcomplexity)。•所谓非线性是相对线性而言的。•什么是非线性学•线性是指量与量之间的正比关系，在平面直角坐标系统中，表现为直线或曲线。在线性系统中，分量之和等于总量f(x+y)=f(x)+f(y)andf(ax)=af(x),描述线性系统的方程遵循叠加原理(principleofsuperposition)，即方程的不同解加起来仍然是解。而非线性则刚好相反，分量之和不等于总量，不遵循叠加原理。非线性的物理现象一般具有这么几个特征•非线性现象在时空中表现为从规则运动向不规则运动的转化和跳跃•非线性系统中某个分量极微小的变化，可以引起整个系统运动形式的性质改变(参见蝴蝶效应)•非线性系统对外界扰动会作出与外界扰动因素截然不同的响应•非线性作用一般会导致空间规整性结构的形成和维持•19世纪末庞加莱(H.Poincare)正是在总结整个世纪这方面进展的基础上，提出不少新的理论和方法，当前非线性科学中的很多概念和思想，都本源于庞加莱。•非线性科学中，那些可以有定量分析、精确计算、数学理论或实验研究的部分，一般认为可以归为以下三种：孤立波(soliton)，混沌(chaos)，分形(fractal)•孤立波，以及相应的孤立子的研究，是这三者中发展较早的一个。当然它的发现可以追溯到十九世纪罗素骑马时在一个河道中看到的一个孤立波，他骑着马跟着这个波，奇怪的是它直到3-4英里以后才破碎。水波的第一个孤立波的解的发现也是迟至上世纪六十年代由克鲁斯卡尔(Kruskal)等人作出的。孤立波或孤立子从那以后就几乎成了一个独立学科。在很多情况下，孤立子的解看起来很难找到，但在一些简单的模型里可以用简单的办法找到。到今天，除了沿它自身体系发展外，由于它在数学处理上已取得不少经验，我们指望从而得到了解其他非线性现象中图型形成的机理。比如，有空间传播性能的波形不变的非线性现象，可以认为是系统中由于自组织而“降维”，在数学上和非线性振动中的所谓同宿解有关。对其他非线性现象的理解可能从孤立波已有成果得到借鉴。•混沌，指一种貌似无规的运动，但支配它这种运动的规律却可用确定型的方程来描述。上面提到的庞加莱在总结天体力学中的问题时，已经对这种现象有了认识。到20世纪50年代，有些物理学家(如玻恩(M.Born))也已明确知道经典力学中会有长期动态的不可预测性。但混沌现象和理论开始受到重视，一般认为契机于60年代两件事。一是罗仑兹(E.Lorenz)在天气预报方程的研究中发现，尽管描述用的方程是确定性的，天气长期动态却是不可预测的。另一是，几位数学家证明了有关经典力学动态的一个定理，即现在按他们的姓称谓的卡姆(KAM)理论。这两件事也分别代表混沌理论两类对象和两种方法：罗仑兹的对象是耗散系统(这类系统和周围环境有联系、有交往，它们在自然和工程中都有)，而卡姆的对象是保守系统(当作是孤立的、封闭的，它们在天体研究和统计物理中常见)。罗仑兹依靠的是数值计算，卡姆用的是严格数学推理，这两种方法在混沌理论研究里都是必不可少的。当前混沌理论所面临的数学情况比分形理论好些，但不如孤立波。现有的数学有的对混沌理论很起作用，也有些问题则还没有找到称手的数学工具。•分形和不规则形状的几何有关。人们早就熟悉从规则的实物抽象出诸如圆、直线、平面等几何概念，芒德波罗(B.B.Mandelbrot)则对曲曲弯弯的海岸线、棉絮团似的云烟找到合适的几何学描述方法——分形。分形理论出现较晚，它的数学准备不象孤立波那样充分，目前它的数学理论和实际应用之间距离还较大，有些数学概念还得从头重新建立。比如，微积分里导数是和光滑曲线的斜率相联系的，对于曲曲弯弯海岸线那样的曲线，导数又怎样定义?如果象微分积分那样的操作都没有，那就很难做进一步的定量的研究。分形数学和分形物理的结合还刚开始。•以上三项内容是彼此联系着的，也还和其他问题有关。当一个系统或事物里有可调的参量(设参量自身不参与随时间变化)，参量不同会引起系统长期动态发生什么根本的(定性)变化，这是“分岔理论”所关心的问题。当参量变化跨越某些临界值(叫做分岔点)，系统将有根本的转变，比如孤立波失稳了，或者一种分形结构变化了，混沌过程变成周期振荡了，等等。再有，如果在一系统或事物的演化中，从时间过程看有混沌，而在空间分布上又有变化着的分形图型，就得时空联系起来研究图型的动力学。正是本着这样的观点，在非线性科学这个重大项目里的各个课题，是既有分工又有联系。Examples•Whatisthebutterflyeffect?Thebutterflyeffectisatermusedtodescribetheprinciplesofnonlinearityandsensitivitytoinitialconditions,whichholdthatanonlinearequationcanhavesolutionsthatareirregular.Theirregularityresultsinsmallchangesbeingamplifiedbythenonlinearnatureofthesystem.Thismeansthatiftheinitialstateofthenonlinearsystemischangedonlyslightly,onecannotpredictthedifferenceinhoweachsystemwillevolveovertime.Oneoften-citedexampleoftheeffectsofnonlinearityandsensitivitytoinitialconditionswasgivenbythemeterologist,EdLorenz.Heexplained,mathematically,whypredictingtheweatherwithprecisionisimpossible.Lorenzdemonstratedthattwovirtuallyidenticalweathersystemswillbehavedifferentlyovertimeduetotheircomplex,nonlinearnatureandduetoinputsfromtheenvironmentthatareinfinitelysmall.Hesuggested,somewhattongue-in-cheek,thateventheflappingwingsofabutterflycouldresultinatornadobecauseofnonlinearprocessesatworkevenwiththesmallestfactorscausingtheweather.•WhatisNonlinearAcoustics/ElasticityStrikeabell,andthebellringsatitsresonancemodes.Strikeitharderandthebellringsatthesametone,onlylouder.Nowimagineasmallcrackinthebell,perhapsinvisibletotheeye.Westrikethebellgentlyanditringsnormally.Strikingitharderwefind,tooursurprise,thatthetonedropsinfrequencyeversoslightly.Strikingitevenharder,thetonedropsfartherdowninfrequency.Thefrequencyshiftisamanifestationofnonlinearityduetothepresenceofthecrack.Figure1illustrateshowthebellrespondselasticallylinearlywhenundamaged,butelasticallynonlinearlywhendamaged.Thebellbehavesinanexpectedmannerwhenintact(Figure1a).Ringingthebellwithahammerexcitesitsresonancemodes,givingrisetoafrequencyspectruminwhichonlythemodalfrequenciesarepresent.However,ifthebellhasevenaverysmallcrackpresent,theresonancefrequenciesdependonhowhardthebellisstruck(Figure1b).Thisisanonlineareffect:achangeinwavefrequencywithwaveamplitude.Figure1:Linearandnonlinearresonanceinabell.Figure2:LinearandnonlinearharmonicgenerationandfrequencyModulationinabell.ThisexampleistakenastepfurtherinFigure2forthesakeofillustratingadditionalmanifestationsofnonlinearity.Forinstance,weinputsignalswithfrequenciesof440Hzand8000Hzintotheundamagedbellusinganaudiospeaker(thesearearbitrarilychosenfrequenciesandarenotcrucialtothegeneralresult).Notsuprisingly,thebellwillringatthetwoinputfrequencies(Figure2a).Ifweinputthetwotonesintothebellwhenasmallcrackispresent,interestingthingshappenagain.Wefindthat,notonlydoesthebellringat440and8000Hz,butotherfrequenciesabound,asillustratedinFigure2b.Weobservespectralcomponentsattwotimes,threetimesandfourtimeseachinputfrequency(880,1320,and1740Hz;and16000,24000,and32000Hz,respectively).Inaddition,wedetectthesumanddifferencefrequenciesbetweenthe440and8000Hz:8000+/-440Hz(Thesefrequenciesarecalledsidebands.).Theresonancepeakchangewithamplitude,andtheappearanceofnewfrequenciesinsidethematerial,arenotexpectedresults!Theyaretheresultofnonlinearinteractionofthesoundinthedamagedbell.Thenonlinearityduetothepresenceofthecrack(s)is(are)anextremelysensitiveindicatorofthepresenceofdamage.Theundamagedportionofthesampleproducesnearlyzerono