电路分析-周期性激励下电路的稳态响应

第14章周期性激励下电路的稳态响应14.1周期性非正弦电流本章重点14.2周期函数的谐波分析—傅里叶级数14.3周期电流的有效值、电路的平均功率14.4周期性非正弦电流电路的计算14.5周期性激励下的三相电路本章重点•定性判断周期性非正弦电流（电压）的谐波分量。•周期性非正弦电流（电压）的有效值、电路的平均功率。•周期性非正弦电流电路的谐波分析法。返回目录14.1周期性非正弦电流一、周期性非正弦激励（nonsinusoidalperiodicexcitation）和信号（signal）举例1.发电机（generator）发出的电压波形，不可能是完全正弦的。tu(t)2.当电路中存在非线性元件时也会产生非正弦电压、电流。二极管整流电路非线性电感（nonlinearinductance）电路isu+DR2uSu++__t0Suu2t0uSi3.大量脉冲信号均为周期性非正弦信号二、周期性非正弦电流电路的分析方法—谐波（harmonic）分析法周期性非正弦电源分解成傅里叶级数（Fourierseries）利用叠加定理分别计算各次谐波电源单独作用在电路上产生的响应。将各次谐波电源在电路中产生的响应进行相加。返回目录t尖脉冲…f(t)0…t方波0f(t)…t锯齿波f(t)0…狄里赫利条件:一、周期函数分解为傅里叶级数14.2周期函数的谐波分析—傅里叶级数式中T为周期，k=0,1,2,3（k为正整数）)()(kTtftfTπ2（1）函数在一周期内极大值与极小值为有限个。（2）函数在一周期内间断点为有限个。（3）在一周期内函数绝对值积分为有限值。dttfT0)(即任何满足狄里赫利条件的周期函数f(t)可展开成傅里叶级数)sin()sin()2sin()sin()(1022110kkkkktkcctkctctcctf]sincos[)2sin2cos()sincos()(1022110tkbtkaatbtatbtaatfkkk周期函数傅里叶级数展开式为还可表示成下式将同频率与合并，)(tfcossinkkkkkkcbcacossin或即f(t)在一周期内平均值求傅里叶系数（Fouriercoefficient）的公式：kkkkkkbabactan22两种表示式中系数间的关系：kakbkkc2200d)(1d)(1TTTttfTttfTaππ0)(dcos)(π1dcos)(2ttktfttktfTaTkππ0)(dsin)(π1dsin)(2ttktfttktfTbTk00ac)sin()sin()2sin()sin()(1022110kKkkktkcctkctctcctf直流分量谐波分量基波二次谐波高次谐波（higherharmonic）—k2次的谐波奇次谐波（oddharmonic）—k为奇次的谐波偶次谐波（evenharmonic）—k为偶次的谐波k次谐波0)2)(()02(1dd1d)(122000TTETETtEtETttfTaTTTT一个周期内的表达式TtTETtEtf220)(求周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。例)(tftπ2TEE…0…)(dcos)()(dcosπ1)(dcos)(π1π2ππ0π20tωtωkEtωtωkEtωtωktfak0)πsinπ2(sin0sinπsinπsinsinπ1π2ππ0kkkkEtωkkEtωkkEπ20)(dsin)(π1tωtωktfbk为偶数为奇数kkπkEπkkEkkkkEtωktωkkEtωtωkEtωtωkE04)cos1(π2πcosπ2cos)0cosπ(cosπcoscosπ)(dsin)()(dsinπ1π2ππ0π2ππ0)5sin513sin31(sinπ45sinπ543sinπ34sinπ4)(tωtωtωEtωEtωEtωEtf则解毕！奇函数，波形对称于原点)sin(sinxx正弦函数是奇函数)()(tftf(a)1.根据函数奇偶性来判断二、波形的对称性（symmetry）与傅里叶系数的关系此类函数的傅里叶级数展开式只包含正弦函数项，不包含余弦函数项和常数项。……f(t)0tT-T……f(t)0tT-T(b))()(tftf偶函数，波形对称于纵轴。余弦函数是偶函数)cos(cosxx此类函数的傅里叶级数展开式只包含余弦函数项，不包含正弦函数项，可能有常数项。……f(t)0tT-T……f(t)0tT-T)2()(Ttftf(a)半波对称横轴2.根据半波对称性质判断此类函数的傅里叶级数展开式只包含奇次函数项，不包含偶次函数项，没有常数项。……f(t)0tT-T)2(Ttf3.平移纵轴（改变时间起点），可以改变函数的奇偶性，但不能改变半波对称性质。)(tftT0……-T返回目录14.3周期电流的有效值、电路的平均功率一、非正弦周期电流、电压的有效值设)sin(1m0kkktkIIi根据周期函数有效值定义TtiTI02d1将i代入，得ttkIITITkkkd)sin(1201m0（1）I02直流分量平方200.20d1ItITT上式积分号中i2项展开后有四种类型：直流分量与各次谐波乘积22m202m2d)(sin1kkkTkIIttkIT0d)sin(211m00ttkIITkkkT0d)sin()sin(21m0mtθtωqIθtωkITqqkTk（不同频率各次谐波两两相乘）（2）),3,2,1()(sin22mktkIkk各次谐波分量平方（3）),3,2,1()sin(2m0ktkIIkk),,2,1,3,2,1(qkqk（4）)sin()sin(mmqqpptqItpI由此可得2221201220IIIIIIkk其中，I1、I2，…分别为各次谐波电流（正弦电流）的有效值。同理，非正弦周期电压可分解为)sin(1m0kkktkUUu222120UUU其有效值1220kkUUU（2）有效值相同的周期性非正弦电压（或电流）其波形不一定相同。)()()(31'tititi注意：（1）周期性非正弦电流（或电压）有效值与最大值一般无倍关系。2例)()()(31tititit0i1(t)i3(t)t0i1(t)i3(t)i(t)i(t)2321III2321III==二、周期性非正弦电流电路的平均功率平均功率定义公式与正弦电流相同。)sin()sin(1m01m0kikkkkuktkIIitkUUu若TTtuiTtpTP00d1d1uip瞬时功率平均功率则ttkIItkUUTPkkikTkkukd)sin()sin(11m001m0ui相乘之积分也可分为四种类型（1）tIUTTd1000（3）ttkItkUTkikkuTkkd)sin()sin(1m01m11coskkkkkkPIU同频电压、电流分量乘积之和的积分直流分量与各次谐波分量乘积之和的积分直流分量乘积之积分000PIU（2）ttkUITkukkTd)sin(11m00ttkIUTkikkTd)sin(11m00=0=0kikuk其中kkUUm21kkIIm21（4）ttqItpUTqiqqpuTppd)sin()sin(11m01m)(qpTuidtTP0121022211100cos.cosPPPIUIUIU则平均功率周期性非正弦电流电路平均功率等于直流分量产生的功率和各次谐波各自产生的平均功率之和。（同频率电压电流相乘才形成平均功率）。不同频电压、电流分量乘积之和的积分=03210PPPPPW9.1125.166.82060cos25130cos221012有效值A87.15.02121221V28.85.6825.12504222521022222222IU例已知：)602sin()30sin(213sin22sin5sin102ttitttu求：电路吸收的平均功率和电压、电流的有效值。+-ui返回目录解14.4周期性非正弦电流电路的计算采用谐波分析法的步骤如下：（2）根据叠加定理，分别计算直流分量和各次谐波激励单独作用时产生的响应。（b）各次谐波单独作用时均为正弦稳态电路，可采用相量法计算。要注意电感和电容的阻抗随频率的变化而变化。（1）将周期性非正弦电源，分解为傅里叶级数，根据要求取有限项。（a）直流分量单独作用相当于解直流电路。（L短路、C开路）（3）将计算结果以瞬时值形式相加（各次谐波激励所产生的相量形式的响应不能进行相加，因其频率不同）。例图示电路为全波整流滤波电路。其中Um=157V。L=5H,C=10F,R=2000，=314rad/s。加在滤波器上的全波整流电压u如图所示。求：（1）电阻R上电压uR及其有效值UR。（2）电阻R消耗的的平均功率。uLCRuRmUππ2t0u解（1）上述周期性非正弦电压分解成付氏级数为:)4cos1512cos3121(π4mtωtωUuV4cos33.132cos7.66100tt取到四次谐波（2）计算各次谐波分量单独作用时产生的响应（a）100V直流电源单独作用。（L短路、C开路）V100RUW52000100220RUPRuRuR1591010314212131405314226CXLXCL单独作用（用相量法）（b）二次谐波V2cos7.662tujXLRURUjXCV)1752cos(55.3o2tuRW1015.32000255.332222RUPRV17555.346.855.15876.89298207.66j)j(oooom2m2CCRXRXRZUUo76.8929822982j55.12158j55.123140j159j2000)159j(20003140jj)j(jCCLXRXRXZ5.79j2000)5.79j(20006280jZ9062016201j16.33.79j16.36280jV)178171.0(72.874.79906201033.13m4RUV)1784cos(171.0o4tuR5.791010314414162805314446CXLXCL（c）四次谐波单独作用V4cos33.134tuW1031.720002171.0624PjXLRURUjXC420PPPPW003.51031.71015.3563420RRRRuuuuV)1784cos(171.0)1752cos(55.3100tt则V1000146.03.6100002171.0255.3100222RU返回目录14.5周期性激励下的三相电路对称三相电源)32()3()(C