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2022年普通高等学校招生全国统一考试(甘肃卷)文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.集合{2,4,6,8,10},{16}MNxx,则MN()A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}2.设(12i)2iab,其中,ab为实数,则()A.1,1abB.1,1abC.1,1abD.1,1ab3.已知向量(2,1)(2,4),ab,则||ab()A.2B.3C.4D.54.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65.若x,y满足约束条件2,24,0,xyxyy…„…则2zxy的最大值是()A.2B.4C.8D.126.设F为抛物线2:4Cyx的焦点,点A在C上,点(3,0)B,若||||AFBF,则||AB()A.2B.22C.3D.327.执行右边的程序框图,输出的n()A.3B.4C.5D.68.右图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]的大致图像,则该函数是()A.3231xxyxB.321xxyxC.22cos1xxyxD.22sin1xyx9.在正方体1111ABCDABCD中,,EF分别为,ABBC的中点,则()A.平面1BEF平面1BDDB.平面1BEF平面1ABDC.平面1BEF∥平面1AACD.平面1BEF∥平面11ACD10.已知等比数列na的前3项和为168,5242aa,则6a()A.14B.12C.6D.311.函数cos1sin1fxxxx在区间0,2π的最小值、最大值分别为()A.ππ22,B.3ππ22,C.ππ222,D.3ππ222,12.已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为()A.13B.12C.33D.22二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.记nS为等差数列na的前n项和.若32236SS,则公差d_______.14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为________.15.过四点0,0,4,0,1,1,4,2中的三点的一个圆的方程为______.16.若1ln1fxabx是奇函数,则a_____,b______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)记ABC△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c﹐已知sinsinsinsinCABBCA.(1)若2AB,求C;(2)证明:2222abc.18.(12分)如图,四面体ABCD中,,,ADCDADCDADBBDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED平面ACD;(2)设2,60ABBDACB,点F在BD上,当AFC△的面积最小时,求三棱锥FABC的体积.19.(12分)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:2m)和材积量(单位:3m),得到如下数据:样本号i12345678910总和根部横截面积ix0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10210.038iix,10211.6158iiy,1010.2474iiixy.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy,1.8961.377.20.(12分)已知函数1()(1)lnfxaxaxx.(1)当0a时,求()fx的最大值;(2)若()fx恰有一个零点,求a的取值范围.21.(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过3(0,2),,12AB两点.(1)求E的方程;(2)设过点(1,2)P的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足MTTH,证明:直线HN过定点.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为3cos2,2sinxtyt(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为πsin03m.(1)写出l的直角坐标方程;(2)若l与C有公共点,求m的取值范围.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知a,b,c都是正数,且3332221abc,证明:(1)19abc;(2)12abcbcacababc.2022年普通高等学校招生全国统一考试(甘肃卷)文科数学参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.1.A2.A3.D4.C5.C6.B7.B8.A9.A10.D11.D12.C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.214.310##0.315.222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy;16.①.12;②.ln2.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(1)5π8;(2)由sinsinsinsinCABBCA可得,sinsincoscossinsinsincoscossinCABABBCACA,再由正弦定理可得,coscoscoscosacBbcAbcAabC,然后根据余弦定理可知,22222222222211112222acbbcabcaabc,化简得:2222abc,故原等式成立.18.【小问1详解】由于ADCD,E是AC的中点,所以ACDE.由于ADCDBDBDADBCDB,所以ADBCDB△△,所以ABCB,故ACBD,由于DEBDD,,DEBDÌ平面BED,所以AC平面BED,由于AC平面ACD,所以平面BED平面ACD.【小问2详解】依题意2ABBDBC,60ACB,三角形ABC是等边三角形,所以2,1,3ACAECEBE,由于,ADCDADCD,所以三角形ACD是等腰直角三角形,所以1DE.222DEBEBD,所以DEBE,由于ACBEE,,ACBE平面ABC,所以DE平面ABC.由于ADBCDB△△,所以FBAFBC,由于BFBFFBAFBCABCB,所以FBAFBC,所以AFCF,所以EFAC,由于12AFCSACEF,所以当EF最短时,三角形AFC的面积最小值.过E作EFBD,垂足为F,在RtBED△中,1122BEDEBDEF,解得32EF,所以223131,2222DFBFDF,所以34BFBD过F作FHBE,垂足为H,则//FHDE,所以FH平面ABC,且34FHBFDEBD,所以34FH,.所以111332333244FABCABCVSFH.19.(1)20.06m;30.39m(2)0.97(3)31209m20.(1)1(2)0,21.(1)22143yx(2)(0,2)【小问1详解】解:设椭圆E的方程为221mxny,过30,2,,12AB,则41914nmn,解得13m,14n,所以椭圆E的方程为:22143yx.【小问2详解】3(0,2),(,1)2AB,所以2:23AByx,①若过点(1,2)P的直线斜率不存在,直线1x.代入22134xy,可得26(1,)3M,26(1,)3N,代入AB方程223yx,可得26(63,)3T,由MTTH得到26(265,)3H.求得HN方程:26(2)23yx,过点(0,2).②若过点(1,2)P的直线斜率存在,设1122(2)0,(,),(,)kxykMxyNxy.联立22(2)0,134kxykxy得22(34)6(2)3(4)0kxkkxkk,可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkxxk,12222228(2)344(442)34kyykkkyyk,且1221224(*)34kxyxyk联立1,223yyyx可得111113(3,),(36,).2yTyHyxy可求得此时1222112:()36yyHNyyxxyxx,将(0,2),代入整理得12121221122()6()3120xxyyxyxyyy,将(*)代入,得222241296482448482436480,kkkkkkk显然成立,综上,可得直线HN过定点(0,2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种:①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.(1)320xym(2)195122m[选修4—5:不等式选讲]23.【小问1详解】证明:因为0a,0b,0c,则320a,320b,320c,所以33333322232223abcabc,即1213abc,所以19abc,当且仅当333222abc,即319abc时取等号.【小问2详解】证明:因为0a,0b,0c,所以2bcbc,2acac,2abab,所以
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