《微积分初步》形成性考核册题修改正式版

１作业（一）————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数)2ln(1)(xxf的定义域是．答案：),3()3,2[提示：对于)2ln(1x，要求分母不能为0，即0)2ln(x，也就是3x；对于)2ln(x，要求02x，即2x；所以函数)2ln(1)(xxf的定义域是),3()3,2[2．函数xxf51)(的定义域是．答案：)5,(提示：对于x51，要求分母不能为0，即05x，也就是5x；对于x5，要求05x，即5x；所以函数xxf51)(的定义域是)5,(3.函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是．答案：]2,1()1,2(提示：对于)2ln(1x，要求分母不能为0，即0)2ln(x，也就是1x；对于)2ln(x，要求02x，即2x；对于24x，要求042x，即2x且2x；所以函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是]2,1()1,2(4.函数72)1(2xxxf，则)(xf．答案：62x提示：因为6)1(72)1(22xxxxf，所以6)(2xxf5．函数0e02)(2xxxxfx，则)0(f．答案：2提示：因为当0x是在0x区间，应选择22x进行计算，即220)0(2f6．函数xxxf2)1(2，则)(xf．答案：12x提示：因为1)1(2)1(22xxxxf，所以1)(2xxf7．函数1322xxxy的间断点是．答案：1x提示：若)(xf在0x有下列三种情况之一，则)(xf在0x间断：①在0x无定义；②在0x极限不存在；③在0x处有定义，且)(lim0xfxx存在，但)()(lim00xfxfxx。题中在10x处无定义8.xxx1sinlim．答案：1；提示：111sinlim1sinlim01xxxxxx9．若2sin4sinlim0kxxx，则k．答案：2提示：因为24)4sin44sin(limsin4sinlim00kkxxkxkxxxkxxxx，所以2k10．若23sinlim0kxxx，则k．答案：1.5；提示：因为23333sinlim3sinlim00kxkxxxkxxxx，所以5.1k二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．设函数2eexxy，则该函数是（）．答案：BA．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数提示：奇函数是指)()(xfxf，关于坐标原点对称；偶函数是指)()(xfxf，关于x轴对称。题中2ee)()(xxxf)(2xfeexx，所以函数2eexxy是偶函数。2．设函数xxysin2，则该函数是（）．答案：AA．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数提示：因为)(sin)sin()sin()()(222xfxxxxxxxf，所以xxysin2是奇函数。3．函数222)(xxxxf的图形是关于（）对称．答案：DA．xyB．x轴C．y轴D．坐标原点提示：因为)(222222)()(xfxxxfxxxx，是奇函数，２所以222)(xxxxf的图形是关于坐标原点对称4．下列函数中为奇函数是（无）．A．xxsinB．xlnC．)1ln(2xxD．2xx提示：A.xxxxxxxfsin)sin()sin()(,即xxsin是偶函数；B.xln的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数；C．)1ln(2xx的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数；D．22)()(xxxxxf，既非奇函数，也非偶函数。所以本题没有一个待选答案是奇函数5．函数)5ln(41xxy的定义域为（）．答案：DA．5xB．4xC．5x且0xD．5x且4x提示：对于41x，要求分母不能为0，即4x；对于)5ln(x，要求05x，即5x。)5ln(41xxy的定义域为5x且4x6．函数)1ln(1)(xxf的定义域是（）．答案：DA．),1(B．),1()1,0(C．),2()2,0(D．),2()2,1(提示：对于)1ln(1x，要求分母不能为0，即2x；对于)1ln(x，要求01x，即1x。所以函数)1ln(1)(xxf的定义域是),2()2,1(7．设1)1(2xxf，则)(xf（）答案：CA．)1(xxB．2xC．)2(xxD．)1)(2(xx提示：注意x比)1(x少1，所以)2(1)12(1)1()(22xxxxxxf8．下列各函数对中，（）中的两个函数相等．答案：DA．2)()(xxf，xxg)(B．2)(xxf，xxg)(C．2ln)(xxf，xxgln2)(D．3ln)(xxfxxgln3)(提示：两个函数相等，必须是对应的规则相同，定义域相同。上述答案中，A定义域不同；B对应的规则不同；C定义域不同；D对应的规则相同，定义域相同9．当0x时，下列变量中为无穷小量的是（）答案：C.A．x1B．xxsinC．)1ln(xD．2xx提示：以0为极限的变量称为无穷小量。上述答案中，当0x时，A趋向∞；B的极限为1；C的极限为0；D趋向∞。10．当k（）时，函数0,0,1)(2xkxxxf，在0x处连续.答案：BA．0B．1C．2D．1提示：当)()(lim00xfxfxx时，称函数)(xf在0x连续。因1)1(lim)(lim200xxfxxkf)0(，所以当k1时，函数0,0,1)(2xkxxxf，在0x处连续11．当k（）时，函数0,0,2)(xkxexfx在0x处连续答案：DA．0B．1C．2D．3提示：当)()(lim00xfxfxx时，称函数)(xf在0x连续。因为3)2(lim)(lim00xxxexfkf)0(，所以当k3时，函数0,0,2)(xkxexfx，在0x处连续12．函数233)(2xxxxf的间断点是（）答案：AA．2,1xxB．3xC．3,2,1xxxD．无间断点提示：若)(xf在0x有下列三种情况之一，则)(xf在0x间断：①在0x无定义；②在0x极限不存在；③在0x处有定义，且)(lim0xfxx存在，但)()(lim00xfxfxx。题中，分母)2)(1(232xxxx，所以在10x和20x处无定义３三、解答题（每小题7分，共56分）⒈计算极限423lim222xxxx．解4121lim)2)(2()2)(1(lim423lim22222xxxxxxxxxxxx2．计算极限165lim221xxxx解2716lim)1)(1()1)(6(lim165lim11221xxxxxxxxxxxx3.329lim223xxxx解324613lim)3)(1()3)(3(lim329lim33223xxxxxxxxxxxx4．计算极限4586lim224xxxxx解3212lim)1)(4()2)(4(lim4586lim44224xxxxxxxxxxxxx5．计算极限6586lim222xxxxx．解234lim)2)(3()2)(4(lim6586lim22222xxxxxxxxxxxxx6.计算极限xxx11lim0．解)11()11)(11(lim11lim00xxxxxxxx21111lim)11(lim00xxxxxx7．计算极限xxx4sin11lim0解xxxxxxxxxxxx4sin)11(lim4sin)11()11)(11(lim4sin11lim000811214144sin1)11(1)41(lim4sin)11(44lim00xxxxxxxx8．计算极限244sinlim0xxx．解)24)(24()24(4sinlim244sinlim00xxxxxxxx16414)24(44sin4lim)24(4sinlim00xxxxxxxx作业（二）————导数、微分及应用一、填空题（每小题2分，共20分）1．曲线1)(xxf在)2,1(点的斜率是．答案：21提示：若已知曲线方程)(xfy，则它在任一点x处的斜率为)(xfk。题中xxxf21)1()(，将1x代入上式，得21)(xf2．曲线xxfe)(在)1,0(点的切线方程是．答案：1xy提示：若已知曲线方程)(xfy，则它在任一点x处的斜率为)(xfk。若给定曲线上的一点),(00yx，则通过该点的切线方程为kxxyy00。题中xxeexf)()(，将0x代入上式，得1)(0exfk，所以通过点(0,1)切线方程为11xy，即1xy3．曲线21xy在点)1,1(处的切线方程是．答案：32xy提示：若已知曲线方程)(xfy，则它在任一点x处的斜率为)(xfk。若给定曲线上的一点),(00yx，则通过该点的切线方程为kxxyy00。题中232121)()(xxxf，将1x代入上式，得21)(xfk，所以通过点(0,1)切线方程为2111xy，即32xy4．)2(x．答案：xx22ln2提示：根据复合函数求导法则计算。４xxxxxxx22ln2212ln2)(2ln2)2(5．若y=x(x–1)(x–2)(x–3)，则y(0)=．答案：6提示：根据有限多个函数的乘积的求导法则（见P45），)3()2)(1()3)(2()1()3)(2)(1(xxxxxxxxxxxxy+)3)(2)(1(xxxx)2)(1()3)(1()3)(2()3)(2)(1(xxxxxxxxxxxxy6)3)(2)(1()0(y6．已知xxxf3)(3，则)3(f=．答案：)3ln1(27提示：3ln33)3()()(23xxxxxf)3ln1(273ln333)3(32f7．已知xxfln)(，则)(xf=．答案：21x提示：xxxf1)(ln)(，21)1()(xxxf8．若xxxfe)(，则)0(f．答案：29．函数yx312()的单调增加区间是．答案：),1(10．函数1)(2axxf在区间),0(内单调增加，则a应满足．答案：0a提示；当0)(xf时，函数)(xf单调增加。题中，02)1()(2axaxxf，所以函数1)(2axxf在区间),0(内单调增加，a应满足0a。二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．函数2)1(xy在区间)2,2(是（）答案：DA．单调增加B．单调减少C．先增后减D．先减后增提示：当0)(xf时，函数)(xf单调增加当0)(xf时，函数)(xf单调减少。题中，)1(2xy，令0y，得驻点1x。当12x时，0y，函数单调减少；当21x时，0y