电大高等数学形成性考核答案

高等数学基础作业1第一章函数第二章极限与连续一、单项选择题CCBCDCA二、填空题1、3xx2、xx23、e4、e5、0x6、无穷小量三、计算题1、解：2)2(f0)0(fef)1(2、解：012xx得：0x或21x所以定义域为210xxx或3、解：设梯形的面积为y，高为x，则：xRxRxxRxRy2222)22(21（Rx0）4、解：2311232sin233sin23lim2sin3sinlim00xxxxxxxx5、解：2)2(1)1()1sin(1lim)1sin(1lim121xxxxxxx6、解：31133cos133sin3lim3tanlim00xxxxxxx7、解：xxxsin11lim20=)11(sin)11)(11(lim2220xxxxx=)11(sinlim220xxxx=)11(sinlim20xxxxx=01=08、解：xxxx31lim=xxxxx)31()11(lim=xxxxxx331)311(lim])11[(lim=31ee=4e9、解：3212lim)1)(4()2)(4(lim4586lim44224xxxxxxxxxxxxx10、解：1)21()(lim21xfx1)(lim1xfx1)(lim1xfx又1)1(f)()(lim1xfxfx所以：)(xf在1x处连续1)(lim1xfx0)(lim1xfx)(lim)(lim11xfxfxx所以：)(xf在1x处不连续综上所述，)(xf在1x处不连续，在其它地方都连续。第三章导数与微分一、单项选择题BDADC二、填空题1、02、xxx5ln23、214、1y5、)1(ln2ln2xexx6、x1三、计算题1、求下列函数的导数'y：（1）解：'y=xxxexxxexxex)323()3(2321（2）解：'y=xxxxxxxxxln2csc1ln2csc222（3）解：'y=xxxxxxxxx222lnln2ln1ln2（4）解：'y=462323cos32ln2sin3)2(cos)2ln2sin(xxxxxxxxxxxxxx（5）解：'y=xxxxxxxxxxxxxxx22222sincos)(lnsin)21(sincos)(lnsin)21(（6）解：'y=xxxxxxxxxxsin1lncos4)sin1ln(cos433（7）解：'y=xxxxxxxxxxxx33ln3lnsin2cos33ln3)(sin3)2(cos222（8）解：'y=xxexexx1sectan22、求下列函数的导数'y：（1）解：'y=xexexx221（2）解：'y=xxxtan)sin(cos1（3）解：87xxxxy所以：'y=8187x（4）解：'y=xxx2sincossin2（5）解：'y=2cos2xx（6）解：'y=xxeesin（7）解：'y=nxxnnxxxnnxxnnxxxnnnnnsinsincoscossin)sin(sincoscossin11(8)解：'y=5lncos5cos5ln5sinsinxxxx(9)解：'y=xexexxsin)sin(coscos3、在下列方程中，)(xyy由方程确定的函数，求'y：（1）解：'2'2)sin(cosyexyxyy得：'y=yexxy22cossin（2）解：yxxyyycos1lnsin''得：'y=)lnsin1(cosxyxy（3）解：2'2'2cos2sin2yyxxyyxyy得：yxyxyyxyycos2sin22222'（4）解：''11yyy得：1'yyy（5）解：''21yyyexy得：)2(1'yeyxy（6）解：yyeyeyyxxcossin2''得：yeyyeyxxcos2sin'（7）解：'2'3yyeyexy得：2'3yeeyyx（8）解：2ln25ln5''yyyx得：2ln215ln5'yxy4、求下列函数的微分dy：（1）dxxxxdy)cotcsccsc(2（2）dxxxxxxxdxxxxxxdy22sincoslnsinsincoslnsin1（3）xdxxdxxdy2sincossin2（4）dxeedyxx2sec5、求下列函数的二阶导数：（1）21'21xy所以：2341xy（2）3ln3'xy所以：3ln32xy（3）xy1'所以：21xy（4）xxxycossin'所以：xxxxxxxysincos2sincoscos四、证明题证明：是奇函数)(xf)()(xfxf)(xf可导'')]([)]([xfxf即：)()(''xfxf，)()(''xfxf所以：)('xf是偶函数第四章导数的应用一、单项选择题DCACCA二、填空题1、极小2、03、)0,(4、,05、)(af6、2,0三、计算题1、解：)5)(1(315183)5(2)1()5(22'xxxxxxxy令0'y，得：11x52x列表如下：x1,15,15,5'y0－0y极大值32)1(f极小值0)5(f所以：单调增加取间为：1,和,5；单调减少区间为：5,1；点1x是极大点，相应的极大值是32；点5x是极小点，相应的极小值是0。2、解：)1(222'xxy令0'y，得：1x列表如下：x1,1,1'y－0y极小值2)1(f而且3)0(f，6)3(f所以：点1x是函数的极小点，相应的极小值是2；函数最大值是6)3(f，最小值是2)1(f3、解：设曲线xy22上的点为yy,22，它到点)0,2(A的距离为：44)22(24222yyyyd4422243'yyyyd令0'd，得：0y或2y当0y，2d；当2y，3d23)2,1(到点)0,2(A的距离最短。4、解：设底半径为r，表面积为V，则：222rLrV223222222'32)2(212rLrrLrrLrrLrV令0'V，得：63322LLr，此时，高3322LrLh所以：当底半径为63L，高为33L时，圆柱体的体积最大。5、解：设底半径为r，表面积为S，则：2222222rrVrrVrSrrVS422'令0'S，的：32Vr，此时，高324VrVh所以：当底半径为32V，高为34V时，表面积最小。6、解：用料最省即为长方体的表面积最小。设底面边长为x米，表面积为2米y，则：2222505.624xxxxxS则xxS22502'令0'S得5x所以：当底面边长为5米时，长方体表面积最小，即用料最省。四、证明题1、证明：在区间x1,1上对函数xxfln)(应用拉格朗日定理，有xx11ln)1ln(，其中x11，故11，于是由上式可得：xx)1ln(即：)1ln(xx2、证明：在区间x,0上对函数xexf)(应用拉格朗日定理，有xeeex0，其中x0，故1e，于是由上式可得：xex1，即1xex第五章不定积分第六章定积分及其应用一、单项选择题DDBBBD二、填空题1、dxxf)(2、cxGxF)()(3、dxex24、cxtan5、x3cos96、37、1三、计算题1、解：原式=cxxdx1sin)1(1cos2、解：原式=cexdexx2)(23、解：原式=cxxdx)ln(ln)(lnln14、解：原式=cxxxxxdxxxdxxxxxd2sin412cos21)2(2cos412cos212cos2cos21)2(cos215、解：原式=exdx1)(ln)ln3(=exdx1)ln3()ln3(=ex12)ln3(21=298=2176、解：原式=)(21210xexd=10210221dxexexx=10222121dxeex=1022)2(4121xdeex=10224121xee=)11(412122ee=41432e7、解：原式=exd12)(ln21=eedxxxxx12121ln21=exdxe122121=exe1224121=)4141(2122ee=41412e8、解：原式=exxd1)1(ln=eedxxxxx1111ln1=dxxee1211=exe111=)11(1ee=12e四、证明题1、证明：)(xf为奇函数)()(xfxfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(对于积分0)(adxxf，令tx，则dtdx0)(adxxf=0))((adttf=adttf0)(=adttf0)(=adxxf0)(因此：aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(=02、证明：参考课本P344例5