2022年全国乙卷数学理科高考真题答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.A3.C.4.D5.B6.B7.A8.D9.C10.D11.C12.D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.31014.或或或222313xy22215xy224765339xy；2281691525xy15.316.1,1e三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（1）证明：因为，sinsinsinsinCABBCA所以，sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC所以，2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab即，22222222222acbabcbca所以；2222abc（2）解：因为，255,cos31aA由（1）得，2250bc由余弦定理可得，2222cosabcbcA则，50502531bc所以，312bc故，2222503181bcbcbc所以，9bc所以的周长为.ABCA14abc18.（1）因为，E为的中点，所以；ADCDACACDE在和中，因为，ABD△CBDA,,BACDCDADBDBDBD所以，所以，又因为E为的中点，所以；ABDCBD≌△△ABCBACACBE又因为平面，，所以平面，,DEBEBEDDEBEEACBED因为平面，所以平面平面.ACACDBEDACD（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，EFACBEDEFBED所以，所以，ACEF1=2AFCSACEF△当时，最小，即的面积最小.EFBDEFAFC△因为，所以，ABDCBD≌△△2CBAB又因为，所以是等边三角形，60ACBABCA因为E为的中点，所以，，AC1AEEC3BE因为，所以,ADCD112DEAC在中，，所以.DEBA222DEBEBDBEDE以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，EExyz则，所以，1,0,0,0,3,0,0,0,1ABD1,0,1,1,3,0ADAB设平面的一个法向量为，ABD,,nxyz则，取，则，030nADxznABxy3y3,3,3n又因为，所以，331,0,0,0,,44CF331,,44CF所以，643cos,77214nCFnCFnCF设与平面所成的角的正弦值为，CFABD02所以，43sincos,7nCF所以与平面所成的角的正弦值为.CFABD43719.（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x样本中10棵这种树木的材积量的平均值3.90.3910y据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，20.06m平均一棵的材积量为30.39m（2）1010iiiii=1i=110101010222222iiiii=1i=1i=1i=1101010xxyyxyxyrxxyyxxyy22(0.038100.06)(1.615810.2474100.060.390.01340.01340.970.013770.0000018996.3)则0.97r（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，3mY又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得．0.06186=0.39Y3=1209mY则该林区这种树木的总材积量估计为31209m20.（1）解：设椭圆E的方程为，过，221mxny30,2,,12AB则，解得，，41914nmn13m14n所以椭圆E的方程为：.22143yx（2），所以，3(0,2),(,1)2AB2:23AByx①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，(1,2)P1x22134xy可得，，代入AB方程，可得26(1,)3M26(1,)3N223yx，由得到.求得HN方程：26(63,)3TMTTH26(265,)3H，过点.26(2)23yx(0,2)②若过点的直线斜率存在，设.(1,2)P1122(2)0,(,),(,)kxykMxyNxy联立得，22(2)0,134kxykxy22(34)6(2)3(4)0kxkkxkk可得，，1221226(2)343(4)34kkxxkkkxxk12222228(2)344(442)34kyykkkyyk且1221224(*)34kxyxyk联立可得1,223yyyx111113(3,),(36,).2yTyHyxy可求得此时，1222112:()36yyHNyyxxyxx将，代入整理得，(0,2)12121221122()6()3120xxyyxyxyyy将代入，得(*)222241296482448482436480,kkkkkkk显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).21.（1）的定义域为()fx(1,)当时,,所以切点为1a()ln(1),(0)0exxfxxf(0,0),所以切线斜率为211(),(0)21exxfxfx所以曲线在点处的切线方程为()yfx(0,(0))f2yx（2）()ln(1)exaxfxx2e11(1)()1e(1)exxxaxaxfxxx设2()e1xgxax若,当,即10a2(1,0),()e10xxgxax()0fx所以在上单调递增,()fx(1,0)()(0)0fxf故在上没有零点,不合题意()fx(1,0)若,当,则210a„„,()0x()e20xgxax所以在上单调递增所以,即()gx(0,)()(0)10gxga…()0fx所以在上单调递增,()fx(0,)()(0)0fxf故在上没有零点,不合题意()fx(0,)若31a(1)当,则,所以在上单调递增,()0x()e20xgxax()gx(0,)(0)10,(1)e0gag所以存在,使得,即(0,1)m()0gm()0fm当单调递减(0,),()0,()xmfxfx当单调递增(,),()0,()xmfxfx所以当(0,),()(0)0xmfxf当,()xfx所以在上有唯一零点()fx(,)m又没有零点,即在上有唯一零点(0,)m()fx(0,)(2)当2(1,0),()e1xxgxax设()()e2xhxgxax()e20xhxa所以在单调递增()gx(1,0)1(1)20,(0)10egag所以存在,使得(1,0)n()0gn当单调递减(1,),()0,()xngxgx当单调递增,(,0),()0,()xngxgx()(0)10gxga又1(1)0eg所以存在,使得,即(1,)tn()0gt()0ft当单调递增,当单调递减(1,),()xtfx(,0),()xtfx有1,()xfx而,所以当(0)0f(,0),()0xtfx所以在上有唯一零点,上无零点()fx(1,)t(,0)t即在上有唯一零点()fx(1,0)所以,符合题意1a所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为()fx(1,0),(0,)a(,1)（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.（1）因为l：，所以，sin03m13sincos022m又因为，所以化简为，sin,cosyx13022yxm整理得l的直角坐标方程：320xym（2）联立l与C的方程，即将，代入3cos2xt2sinyt中，可得，320xym3cos22sin20ttm所以，23(12sin)2sin20ttm化简为，26sin2sin320ttm要使l与C有公共点，则有解，226sin2sin3mtt令，则，令，，sinta1,1a2()623faaa(11)a≤≤对称轴为，开口向上，16a所以，(1)623()5maxffa，min11219(())36666ffa所以19256mm的取值范围为.195122m[选修4-5：不等式选讲]23.（1）证明：因为，，，则，，，0a0b0c320a320b320c所以，33333322232223abcabc即，所以，当且仅当，即时取等号．1213abc19abc333222abc319abc（2）证明：因为，，，0a0b0c所以，，，2bcbc2acac2abab所以，，3222aaabcbcabc3222bbbacacabc3222cccabababc333333222222122222abcabcabcbcacababcabcabcabcabc当且仅当时取等号．abc