2021年12月广东省高三上阶段性数学期末试卷原版点评解析版

第1页（共23页）2020-2021学年广东省高三（上）阶段性数学试卷（12月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|22}Axx„„，2{|30}Bxxx，则(AB)A．(0，2]B．[2，0)C．[2，3)D．(2,3)2．（5分）已知复数521izii，则||(z)A．3B．5C．2D．13．（5分）《九章算术》是我国古代最著名的数学著作，成书于公元一世纪，分为方田、粟米、方程勾股等九章．卷一《方田》中记载了圆形、扇形、弓形等八种几何图形面积计算方法：如圆的面积计算“径自相乘，三之，四而”．意思是圆的面积为“直径平方，乘以三，再取四分之一”，则这里的圆周率为()A．3B．3.1C．3.14D．3.14164．（5分）实数x，y满足0x，0y，则下列不等式成立的是()A．2xyxyB．211xyxy…C．114xyxy„D．||xyxy…5．（5分）数学与文化有许多奇妙的联系，如诗词中有回文诗回文联“上海自来水来自海上”，既可以顺读又可以逆读数学中有回文数，如“343，12521”，两位数的回文数11，22，33等，则三位数的偶数回文数的个数为()A．40B．45C．50D．546．（5分）已知点F为抛物线24yx的焦点，过点(2,0)的直线与抛物线交于A，B两点，则FAFB的取值范围为()A．(，7]B．(，8]C．(10，7]D．(8，7]7．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ab，3sin2sinBC，则sin2sin(sin2BCA)A．16B．4C．513D．48．（5分）若函数(2)yfx的图象关于直线2x对称，()fx对任意的实数x都有(4)()2fxfxf（2），且f（1）1，则(2022)(2021)(ff)A．0B．1C．2D．3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分部分选对的得3分．9．（5分）方程“22(log3)(log3)1mnxy”表示焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是()第2页（共23页）A．1nmB．1mnC．13mnD．3mn10．（5分）如图，在三棱锥ABCD中，CDBC，ABBD，平面ABC平面BCD，则下列判断中正确的有()A．CDACB．AB平面BCDC．ADBCD．图中恰有三对平面互相垂直11．（5分）函数()sin2cos2(0)fxaxbxa的图象向右平移6个单位得到函数()gx的图象，若()gx为奇函数，则关于函数()fx，下列结论正确的是()A．()fx的最大值为2aB．()fx的图象的一条对称轴为6xC．()fx的图象的一个对称中心为(,0)3D．()fx的一个递增区间为5[,]121212．（5分）在平面四边形ABCD中，ABC的面积是ADC的面积的3倍，又数列{}na满足16a，当2n…时恒有11(3)(3)nnnnACaABaAD，设数列{}na的前n项和为nS．则下列判断正确的是()A．数列{}na为等比数列B．数列{}na为递增数列C．数列3nna为等比数列D．113()322nnSn三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数2()(2)2fxalnxx的图象在点(1，(1))f的切线与直线310xy垂直，则a．14．（5分）冬天是鼻炎和感冒的高发期，某人在冬季里鼻炎发作的概率为0.96，鼻炎发作且感冒的概率为0.84，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为．15．（5分）已知A，B，C是球O球面上的三点，6ACBC，63AB，且四面体OABC的体积为243，则球O的表面积为．16．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)xyTabab的左、右焦点分别为1F、2F，点P是双曲线T右支上一点，12FPF第3页（共23页）的角平分线交x轴于点M，||(PMcc为半焦距），且22OMMF（点O为坐标原点），则双曲线T的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}na的前n项和2nSntn，且2a，4a，8a成等比数列．（1）求数列{}na的通项公式；（2）若21nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT．18．（12分）在ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2)coscosacBbC．（1）求角B的大小；（2）现给出三个条件①2ac；②AC边上的中线BD长为72；③角B的平分线交边AC于M，且1BM．从中选出两个可以确定ABC的条件，写出您的选择，并以此为依据求出ABC的面积．19．（12分）随着生活节奏的加快以及生活环境的影响外卖点餐逐渐成为餐饮的快捷消费习惯，由此产生了一批外卖平台已知某外卖点餐平台只做5种价格订制套餐外卖，套餐最低20元，最高80元．现从该平台随机抽取一天中100份点餐进行统计按点餐价格统计结果如表：点餐价格（单位：元）2030406080点餐份数153030205如以这批用户在各点餐价格的频率视为在该点餐价格的概率．（1）若此外卖平台一天的点餐总收入为40000元，试估计该平台一天用户的点餐份数；（2）该平台为了促进消费推出“你吃饭我买单的送红包活动活动．规则为：每点一份套餐付款后即返还一个现金红包，红包有三种：5元红包获奖率为80%，30元红包获奖率为15%，60元红包获奖率为5%．（ⅰ）假设返还的红包金额大于等于付款金额，即为客户吃免费套餐．求该平台在活动期间客户一次消费中吃免费套餐的概率．（ⅱ）若该平台不开展促进消费活动卖出一份套餐利润为50%，设该平台在活动期间卖出一份套餐所得利润为X，求X的期望．20．（12分）如图，在三棱柱111ABCABC中，14ABAA，13AAB，BCAC，平面11AABB平面ABC，E，F分别为AB，11BC的中点．（1）求证：//EF平面11AACC；（2）若二面角1AACB的正切值为2，求锐二面角CEFB的余弦值．第4页（共23页）21．（12分）如图所示，已知A，B，C是焦距为4的椭圆2222:1(0)xyGabab上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心且0BCBA，||2||BCBA．（1）求椭圆G的方程；（2）过椭圆G上异于顶点的任意一点P作圆22:2Oxy的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN与x轴，y轴分别交于点E，F，当EOF的面积最小时求PMN与EOF的面积之比．22．（12分）已知函数3()2(1)2xfxeax，aR．（1）讨论函数()fx的单调区间；（2）若221()2(1)2fxxa…对[0x，)恒成立，求a的取值范围．第5页（共23页）2020-2021学年广东省高三（上）阶段性数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|22}Axx„„，2{|30}Bxxx，则(AB)A．(0，2]B．[2，0)C．[2，3)D．(2,3)【分析】解不等式得到集合B，然后进行并集的运算即可．【解答】解：{|22}Axx„„，2{|30}{|03}Bxxxxx，[2AB，3)．故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知复数521izii，则||(z)A．3B．5C．2D．1【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．【解答】解：522(1)1(1)(1)iiiziiiii，12i则||5z．故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．3．（5分）《九章算术》是我国古代最著名的数学著作，成书于公元一世纪，分为方田、粟米、方程勾股等九章．卷一《方田》中记载了圆形、扇形、弓形等八种几何图形面积计算方法：如圆的面积计算“径自相乘，三之，四而”．意思是圆的面积为“直径平方，乘以三，再取四分之一”，则这里的圆周率为()A．3B．3.1C．3.14D．3.1416【分析】由已知结合圆的面积公式及已知定义可求．【解答】解：由题意得，2134Sd，d为直径，圆的面积2214Srd，223144dd，3．第6页（共23页）故选：A．【点评】本题主要考查了圆的面积公式的简单应用，属于基础试题．4．（5分）实数x，y满足0x，0y，则下列不等式成立的是()A．2xyxyB．211xyxy…C．114xyxy„D．||xyxy…【分析】由已知结合不等式性质及基本不等式，分别判断各选项即可．【解答】解：因为0x，0y，所以2xyxy…，当且仅当xy时取等号，A错误；222112xyxyxyxyxyxy„，当且仅当xy时取等号，B错误；2224xyxyyxxyxy…，当且仅当xy时取等号，所以114xyxy…，C错误；当xy„时，||xyxy…显然成立，当xy时，2xyy，所以yxy，所以22yxy，即2xyxyxy，所以2()xyxy，所以xyxy．故||xyxy，D成立．故选：D．【点评】本题主要考查了基本不等式及不等式的性质的综合应用，解题的关键是性质的熟练应用．5．（5分）数学与文化有许多奇妙的联系，如诗词中有回文诗回文联“上海自来水来自海上”，既可以顺读又可以逆读数学中有回文数，如“343，12521”，两位数的回文数11，22，33等，则三位数的偶数回文数的个数为()A．40B．45C．50D．54【分析】根据题意，先分析要求“三位数的偶数回文数”的个位和百位数字，可知其有4种情况，而对于十位数字，没有限制，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，三位数的偶数回文数的个位和百位数字相同，必须为2、4、6、8中的1个，有4种情况，对于十位数字，没有限制，有10种情况，第7页（共23页）则三位数的偶数回文数有41040个，故选：A．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6．（5分）已知点F为抛物线24yx的焦点，过点(2,0)的直线与抛物线交于A，B两点，则FAFB的取值范围为()A．(，7]B．(，8]C．(10，7]D．(8，7]【分析】设出直线的方程为2(0)xtyt，与抛物线方程联立，得到关于y的韦达定理，然后利用坐标表示出FAFB，求出它的取值范围，再研究0t的取值情况，即可得到答案．【解答】解：由题意，设直线方程为2(0)xtyt，设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，联立方程组可得224xtyyx，消去x可得，2480yty，则有121248yytyy，又1122(1,),(1,)FAxyFBxy，所以22121212121212(1)(1)(1)(1)(1)()147FAFBxxyytytyyytyytyyt，因为0t，所以2477FAFBt，又当0t时，直线为2x，FAFB取得最大值7，所以FAFB的取值范围为(，7]．故选：A．【点评】本题考查了直线与抛物线