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1/212021北京海淀初三(上)期中数学一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.(2分)方程2610xx−−=的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()A.1,6−,1−B.1,6,1C.0,6−,1D.0,6,1−2.(2分)中秋节是中国的传统节日,有“团圆”、“丰收”的寓意.月饼是首选传统食品,不仅美味,而且设计多样.下列月饼图案中,为中心对称图形的是()A.B.C.D.3.(2分)将抛物线212yx=向下平移1个单位长度,得到的抛物线是()A.2112yx=−B.2112yx=+C.21(1)2yx=−D.21(1)2yx=+4.(2分)用配方法解方程2230xx+−=,下列配方结果正确的是()A.2(1)2x−=B.2(1)4x−=C.2(1)2x+=D.2(1)4x+=5.(2分)如图,AB是半圆O的直径,点C,D在半圆O上.若50ABC=,则BDC的度数为()A.90B.100C.130D.1406.(2分)如图,在正三角形网格中,以某点为中心,将MNP旋转,得到△111MNP,则旋转中心是()A.点AB.点BC.点CD.点D2/217.(2分)已知抛物线2yaxbxc=++,其中0ab,0c,下列说法正确的是()A.该抛物线经过原点B.该抛物线的对称轴在y轴左侧C.该抛物线的顶点可能在第一象限D.该抛物线与x轴必有公共点8.(2分)如图,在ABC中,90C=,5AC=,10BC=.动点M,N分别从A,C两点同时出发,点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动,点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动.设运动时间为t,点M,C之间的距离为y,MCN的面积为S,则y与t,S与t满足的函数关系分别是()A.正比例函数关系,一次函数关系B.正比例函数关系,二次函数关系C.一次函数关系,正比例函数关系D.一次函数关系,二次函数关系二、填空题(本题共16分,每小题2分)9.(2分)若点(5,5)A与点B关于原点对称,则点B的坐标为.10.(2分)若点(0,)a,(3,)b都在二次函数2(1)yx=−的图象上,则a与b的大小关系是:ab(填“”,“”或“=”).11.(2分)如图,矩形ABCD中,3AB=,4BC=.以点A为中心,将矩形ABCD旋转得到矩形ABCD,使得点B落在边AD上,此时DB的长为.12.(2分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线2yaxbxc=++的对称轴为直线2x=,与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的方程20axbxc++=的解为.13.(2分)如图,C,D为AB的三等分点,分别以C,D为圆心,CD长为半径画弧,两弧交于点E,F,连接EF.若9AB=,则EF的长为.3/2114.(2分)1275年,我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题:直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是:矩形面积864平方步,宽比长少12步,问宽和长各几步.若设长为x步,则可列方程为.15.(2分)数学活动课上,同学们想测出一个残损轮子的半径,小聪的解决方案如下:在轮子圆弧上任取两点A,B,连接AB,再作出AB的垂直平分线,交AB于点C,交AB于点D,测出AB,CD的长度,即可计算得出轮子的半径.现测出4ABcm=,1CDcm=,则轮子的半径为cm.16.(2分)已知1(Mx,1)y,2(Nx,2)y为抛物线2(0)yaxa=上任意两点,其中120xx.若对于211xx−=,都有21||1yy−,则a的取值范围是.三、解答题(本题共68分,第17-21题,每小题5分,第22-23题,每小题5分,第24题5分,第25-26题,每小题5分,第27-28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(5分)解方程:289xx−=.18.(5分)如图,ABC是等边三角形,点D在边AC上,以CD为边作等边CDE,连接BD,AE.求证:BDAE=.19.(5分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数2yxpxq=++的图象经过点(0,2)A−,(2,0)B.(1)求这个二次函数的解析式;(2)一次函数(0)ykxbk=+的图象也经过点A,B,结合图象,直接写出不等式2kxbxpxq+++的解集.20.(5分)如图,A,B是O上的两点,C是AB的中点.求证:AB=.4/2121.(5分)已知:A,B是直线l上的两点.求作:ABC,使得点C在直线l上方,且150ACB=.作法:①分别以A,B为圆心,AB长为半径画弧,在直线l下方交于点O;②以点O为圆心,OA长为半径画圆;③在劣弧AB上任取一点C(不与A,B重合),连接AC,BC.ABC就是所求作的三角形.(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明.证明:在优弧AB上任取一点M(不与A,B重合),连接AM,BM,OA,OB.OAOBAB==,OAB是等边三角形.60AOB=.A,B,M在O上,1(2AMBAOB=)(填推理的依据).30AMB=.四边形ACBM内接于O,180(AMBACB+=)(填推理的依据).150ACB=.22.(6分)已知关于x的一元二次方程22210xaxa−+−=.(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根;(2)若该方程的两个根均为负数,求a的取值范围.23.(6分)小明进行铅球训练,他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况.他以水平方向为x轴方向,1m为单位长度,建立了如图所示的平面直角坐标系,铅球从y轴上的A点出手,运动路径可看作抛物线,在B点处达到最高位置,落在x轴上的点C处.小明某次试投时的数据如图所示.(1)在图中画出铅球运动路径的示意图;5/21(2)根据图中信息,求出铅球路径所在抛物线的表达式;(3)若铅球投掷距离(铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度)不小于10m,成绩为优秀.请通过计算,判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀.24.(5分)关于x的一元二次方程20xbxc++=经过适当变形,可以写成()()()xmxnpmn−−=的形式.现列表探究2430xx−−=的变形:变形mnp(1)(5)2xx+−=−1−52−(4)3xx−=043(1)()6xxt−−=1t62(2)7x−=227回答下列问题:(1)表格中t的值为;(2)观察上述探究过程,表格中m与n满足的等量关系为;(3)记20xbxc++=的两个变形为111()()xmxnp−−=和22212()()()xmxnppp−−=,则1212nnmm−−的值为.25.(6分)如图,AB为O的直径,弦CD与AB交于点E,75C=,45D=.(1)求AEC的度数;(2)若12AC=,求CD的长.26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线22(0)yaxbxa=++经过点(1,1)A−,与y轴交于点B.(1)直接写出点B的坐标;(2)点(,)Pmn是抛物线上一点,当点P在抛物线上运动时,n存在最大值N.①若2N=,求抛物线的表达式;②若92a−−,结合函数图象,直接写出N的取值范围.27.(7分)如图,已知(090)MON=,OP是MON的平分线,A,B分别在OP,OM上,且//ABON.以点A为中心,将线段AO旋转到AC处,使点O的对应点C恰好在射线BM上,在射线ON上取一点D,使得180BAD=−.(1)①依题意补全图;②求证:OCODAD=+;(2)连接CD,若CDOD=,求的度数,并直接写出ADOD的值.6/2128.(7分)在平面直角坐标系xOy中,对于第一象限的P,Q两点,给出如下定义:若y轴正半轴上存在点P,x轴正半轴上存在点Q,使//PPQQ,且12==(如图1),则称点P与点Q为−关联点.(1)在点1(3,1)Q,2(5,2)Q中,与(1,3)为45−关联点的是;(2)如图2,(6,4)M,(8,4)N,(Pm,8)(1)m.若线段MN上存在点Q,使点P与点Q为45−关联点,结合图象,求m的取值范围;(3)已知点(1,8)A,(Bn,6)(1)n.若线段AB上至少存在一对30−关联点,直接写出n的取值范围.7/21参考答案一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.【分析】根据一元二次方程的一般形式找出a,b,c的值即可.【解答】解:方程2610xx−−=,二次项系数、一次项系数、常数项分别是1,6−,1−.故选:A.【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键是一元二次方程的一般形式是:20(axbxca++=,b,c是常数且0)a特别要注意0a的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中2ax叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.2.【分析】一个图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.【解答】解:选项A、C、D不能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180后与原图重合,所以不是中心对称图形;选项C能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180后与原图重合,所以是中心对称图形;故选:B.【点评】本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.3.【分析】根据“上加下减”的规律进行解答即可.【解答】解:将抛物线212yx=向下平移1个单位长度,得到的抛物线是:2112yx=−,故选:A.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减是解题的关键.4.【分析】配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.【解答】解:2230xx+−=223xx+=22113xx++=+2(1)4x+=故选:D.【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.5.【分析】根据直径所对的圆周角是直角求得90ACB=,再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解A,再根据圆内接四边形的性质即可得解.【解答】解:AB是半圆O的直径,90ACB=.8/21又50ABC=,40A=,四边形ABDC为圆O的内接四边形,180ABDC+=,140BDC=,故选:D.【点评】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质,熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键.6.【分析】根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心,可得结论.【解答】解:线段1NN,线段1PP的垂直平分线的交点为点B,故点B为旋转中心.故选:B.【点评】本题考查旋转的性质,解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心.7.【分析】根据抛物线的系数与图象的关系即可求出答案.【解答】解:抛物线2yaxbxc=++,0c,抛物线不会经过原点,故A错误;0ab,a、b异号,抛物线在y轴的右侧,故B错误;顶点可能在第一象限,也可能在第四象限,故C正确;当0a,0b时,0c,顶点在第一象限,此时抛物线与x轴没有交点,故D错误;故选:C.【点评】本题考查二次函数的图象与性质,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系,本题属于中等题型.8.【分析】求出y与t,S与t满足的函数关系式,再根据函数的类型进行判断即可.9/21【解答】解:由题意得,AMt=,2CNt=,5MCACAMt=−=−,即5yt=−,2152SMCCNtt==−,因此y是t的一次函数,S是t的二次函数,故选:D.【点评】本题考查一次函数、二次函数,理解一次函数、二次函数的意义
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