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1重庆七中高2022级高三第一次月考数学学科试题一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共计40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1.已知集合33|,0|==xxBxxA,则()[来源:学。科。网Z。X。X。K]A.RBA=B.0=xxBAC.ABD.=BACR2.若复数z满足izz232−=+,其中i为虚数单位,则z=()A.12i−B.12i+C.12i−+D.12i−−3.一个口袋中装有3个白球,4个黑球和5个红球,先摸出一个球后放回,再摸出一个球,则两次摸出的球是1白1黑的概率是()A.31B.41C.61D.1214.下列说法中正确的是()A.命题“若ba,则22bcac”为真命题;B.函数1−=xxy在区间),1(+上是增函数;C.命题“01)1(,0200+−+xaxRx”的否定是“01)1(,2+−+xaxRx”D.“3x”是“3x”成立的必要不充分条件;5.已知函数xxxfsin2)(−=,若不等式0)21()(2−+axfaxf对Rx恒成立,则实数a的取值范围是()A.],0(eB.],0[eC.]1,0[D.]1,0(6.设0,0ba,且12=+ba,则baaa++21的最小值为()A.4B.122+C.314D.27.已知定义在R上的函数()yfx=满足条件()()4fxfx+=−,且函数()2yfx=+是偶函数,当(0,2x时,()lnfxxax=−(12a),当)2,0x−时,()fx的最小值为3,则a=()2A.2eB.eC.2D.18.已知71828.2e若是自然对数的底数,设,33ea−=,22eb−=2ln12−=−ec,则()A.bacB.cabC.acbD.cba二、多选题(本题包括4小题,每小题5分,共20分,错选不得分,少选得2分)9.设cba,,为非零实数,且cba,则()A.cbba−−B.cba111C.cba2+D.1−−cbca10.已知nxx)12(+的二项展开式中二项式系数之和为64,则下列结论正确的是()A.二项展开式中无常数项B.二项展开式中第3项为3240xC.二项展开式中各项系数之和为63D.二项展开式中二项式系数最大的项为23160x11.定义在R上的可导函数()fx满足()11=f,且()12xf,当−23,2x时,使不等式xxfcos21)cos2(+成立的充分不必要条件可以是()A.−6,3B.−0,3C.4,0D.−3,312.已知函数2)(−+=xexfx的零点为1x,函数2ln)(−+=xxxg的零点为2x,则()A.2121xxB.0lnln1221+xxxxC.eeexx221+D.221exx三、填空题(本题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上).13.已知xxxf2)1(2+=+,则=)(xf____________.14.已知函数−=1),1(210,)(xxxxxf,若)1()(+=afaf,则实数=a____________.15.已知ba,为正实数,直线axy−=与曲线)ln(bxy+=相切于点),(00yx,则ba+的最大值_____________.16.用红、黄、蓝、绿4种颜色给如图所示的五连圆涂色,要求相邻两个圆所涂颜色不能相同,且红色至少要涂两个圆,则不同的涂色方案种数为.3三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17(本题满分10分)在ABC中,角CBA,,所对的边分别为cba,,,且BaAbcossin3=.(I)求角B;(II)若3=b,ACsin3sin=,求ABC的面积.18(本题满分12分)为了解大学生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)频数22504502908(I)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出X服从正态分布2(51,15)N,若该所大学共有学生65000人,试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上;(II)已知样本数据中旅游费用支出在[80,100]范围内的8名学生中有5名女生,3名男生,现想选其中3名学生回访,记选出的男生人数为Y,求Y的分布列与数学期望.附:若X~),(2N,则()0.6826PX−+=,(22)0.9544PX−+=,(33)0.9973PX−+=.19(本题满分12分)如图,已知直三棱柱111CBAABC−中,90=ACB,E是棱1CC上的动点,F是AB的中点,2==BCAC,41=AA.(I)当E是棱1CC的中点时,求证:CF//平面1AEB;(II)在棱1CC上是否存在点E,使得二面角BEBA−−1的大小是45?若存在,求出CE的长,若不存在,请说明理由.420(本题满分12分)区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后,下一代颠覆性的核心技术。区块链作为构造信任的机器,将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式。2017年至2021年五年期间,中国的区块链企业数量逐年增长,居世界前列。现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据,如下表年份20172018201920202021编号12345企业总数量𝑦(单位:千个)2.1563.7278.30524.27936.224注:参考数据691.7451==iiy,761.31251==iiiyx,980.1051==iiz,457.4051==iiizx(其中yzln=).附:样本),,2,1)(,(niyxii=的最小二乘法估计公式为__1_221niiiniixynxybxnx==−=−,__aybx=−(I)根据表中数据判断,bxay+=与dxcey=(其中71828.2=e…,为自然对数的底数),哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量?(给出结果即可,不必说明理由)(II)根据(I)的结果,求y关于x的回归方程(结果精确到小数点后第三位);(Ⅲ)为了促进公司间的合作与发展,区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛,邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下:①每场比赛有两个公司参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一个公司首先获胜两场,则本次比赛结束,该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”,已知在每场比赛中,甲胜乙的概率为31,甲胜丙的概率为53,乙胜丙的概率为21,请通过计算说明,哪两个公司进行首场比赛时,甲公司获得“优胜公司”的概率最大.521(本题满分12分函数)11(ln)(xaxxf−−=,Ra.(I)若0a,求证:函数𝑓(𝑥)存在唯一零点的充要条件是1=a;(II)若对任意,1x0)(xf恒成立,求实数a的取值范围.22(本题满分12分)已知()()21xfxaxex=−+.(I)若()fx在1xa=−处取得极值,求实数a的值;(II)证明::0a时,()()2ln11fxaxxx−+++.6重庆七中高2022级高三(上)第一次月考数学答案一、选择题:1-4.BACD5-8.CBAD二、多选题:9.CD10.BCD11.ABC12.BD二、填空题:13.12−x14.4115.216.120三、解答题17.解:(1)在𝛥𝐴𝐵𝐶中,由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得√3sin𝐵sin𝐴=sin𝐴cos𝐵.又因为在𝛥𝐴𝐵𝐶中sin𝐴≠0.所以√3sin𝐵=cos𝐵.因为0𝐵𝜋,所以sin𝐵≠0,因而cos𝐵≠0.所以tan𝐵=sin𝐵cos𝐵=√33,所以𝐵=𝜋6.(2)由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,而sin𝐶=√3sin𝐴,所以𝑐=√3𝑎,①由余弦定理𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵,得9=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝜋6,即𝑎2+𝑐2−√3𝑎𝑐=9,②把①代入②得𝑎=3,𝑐=3√3.所以3496sin33321sin21===BacSABC18.719.解:(1)取𝐴𝐵1中点M,连接EM、FM-----------------(1分)∵△AB1B中,M、F分别是AB、AB1的中点,∴MF//B1B且MF=12B1B,又∵矩形BB1C1C中,CE//B1B且CE=12B1B,∴MF//CE且MF=CE,可得四边形MFCE是平行四边形-------------(4分)∴𝐶𝐹//𝐸𝑀∵𝐶𝐹⊈平面𝐸𝐴𝐵1,𝐸𝑀⊆平面𝐸𝐴𝐵1,∴𝐶𝐹//平面𝐴𝐸𝐵1----------------------(6分)(2)以CA、CB、𝐶𝐶1为x、y、z轴,建立如图空间直角坐标系,可得𝐴(2,0,0),B1(0,2,4),设𝐶𝐸=𝑚,得𝐸(0,0,𝑚)∴𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,0,𝑚),𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2,4)设平面𝐴𝐸𝐵1的法向量为𝑛⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)则有{𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=−2𝑥+𝑚𝑧=0𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2𝑥+2𝑦+4𝑧=0,解之并取𝑧=2,得𝑛⃗⃗=(𝑚,𝑚−4,2)∵平面𝐸𝐵1𝐵的法向量为𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0),-------------------(8分)∴当二面角𝐴−𝐸𝐵1−𝐵的大小是45∘时,有cos𝑛⃗⃗,𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑚2√𝑚2+(𝑚−4)2+4=√22,解之得𝑚=52.因此,在棱𝐶𝐶1上存在点E,当𝐶𝐸=52时,二面角𝐴−𝐸𝐵1−𝐵的大小是45∘.-------------(12分)20.解:(1)选择回归方程𝑦=𝑐𝑒𝑑𝑥,适宜预测未来几年我国区块链企业总数量;(2)对𝑦=𝑐𝑒𝑑𝑥两边取自然对数,得ln𝑦=ln𝑐+𝑑𝑥,令𝑧=ln𝑦,𝑎=ln𝑐,𝑏=𝑑,得𝑧=𝑎+𝑏𝑥.由于∑𝑥𝑖5𝑖=1=15,𝑥−=15∑𝑥𝑖5𝑖=1=3,𝑧−=15∑𝑧𝑖5𝑖=1=2.196,∵𝑏̂=∑𝑥𝑖5𝑖=1𝑧𝑖−5𝑥−⋅𝑧−∑𝑥𝑖25𝑖=1−5𝑥−2=40.457−5×3×2.19655−5×32≈0.752,𝑎̂=𝑧−−𝑏̂𝑥−=2.196−0.752×3=−0.060.∴𝑧关于x的回归方程为𝑧̂=0.752𝑥−0.060,则y关于x的回归方程为𝑦̂=𝑒0.752𝑥−0.060;(3)对于首场比赛的选择有以下三种情况:A、甲与乙先赛;B、甲与丙先赛;C、丙与乙先赛.由于在每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为35,乙胜丙的概率为12,则甲公司获胜的概率分别是:𝑃(𝐴)=13×35+13×(1−35)×12×13+(1−13)×(1−12)×35×13=1345;8𝑃(𝐵)=35×13+35×(1−13)×(1−12)×35+(1−35)×12×13×35=925;𝑃(𝐶)=(1−12)×35×13+12×13×35=15.由于925134515,∴甲与丙两公司进行首场比赛时,甲公司获得“优胜公司”的概率大.21.(1)解:证明(1)(充分性)函数𝑓(𝑥)的定义域为(0,+∞),𝑓′(𝑥)=𝑥−𝑎𝑥2(x0)当𝑎=1时,𝑓′(𝑥)=𝑥−1𝑥2,令𝑓′(𝑥)=0,得𝑥=1,x(0,1)1(1,+∞)𝑓′(𝑥)−0+𝑓(𝑥)单调递减极小单调递增在𝑥=1处函数𝑓(𝑥)有极小值也是最小值𝑓(1)=0,且𝑓(𝑥)在
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