山东省德州市202111高一上学期期中考试数学试题及答案

2021∼2022学年度第一学期期中学业水平诊断高一数学注意事项:1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。2.答卷前,务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。3.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰;超出答题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.已知集合𝐴={𝑥∣𝑥∈𝐍,且𝑥−1},𝐵={−2,−1,0,1,2},则𝐴∩𝐵=A.{−2,−1,0,1,2}B.{−1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{1,2}2.命题“∀𝑥∈𝐑,𝑥3+𝑥+10”的否定为A.∀𝑥∈𝐑,𝑥3+𝑥+1⩽0B.∃𝑥∈𝐑,𝑥3+𝑥+1⩽0C.∀𝑥∈𝐑,𝑥3+𝑥+1⩾0D.∃𝑥∈𝐑,𝑥3+𝑥+1⩾03.𝑥0,𝑦0是𝑥𝑦⩽𝑥2+𝑦22的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数𝑓(𝑥)=√6+𝑥−𝑥2𝑥−1的定义域为A.[−3,2]B.[−3,1)∪[1,2]C.[−2,3]D.[−2,1)∪[1,3]5.若𝑎,𝑏,𝑐∈𝐑,则下列命题正确的是A.若𝑎𝑏0,则𝑐𝑎𝑐𝑏B.若𝑎𝑏且1𝑎1𝑏,则𝑎𝑏0C.若𝑎𝑏0,则𝑎2𝑏2𝑎𝑏D.若𝑎𝑏0,则𝑎2𝑎𝑏𝑏26.已知𝑓(𝑥)是非零实数集上的偶函数,且在(−∞,0)上为减函数,若𝑓(−1)=0,则下列说法正确的是A.𝑓(−3)𝑓(4)B.∀𝑥∈𝐑,∃𝑀∈𝐑,使𝑓(𝑥)⩾𝑀C.若𝑥𝑓(𝑥)0,则𝑥∈(−∞,−1)∪(0,1)D.若𝑓(𝑚−1)𝑓(2),则𝑚∈(−∞,3)7.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥+1𝑥−1,𝑔(𝑥)=𝑥+1𝑥(𝑥0),则𝑦=𝑓(𝑔(𝑥))的值域为A.(−∞,2)∪(2,+∞)B.5,+∞)C.(2,+∞)D.2,58.若函数𝑓(𝑥)={3𝑥2+6𝑥,𝑥⩽03𝑥−2,𝑥0,将函数𝑦=|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑡)|,𝑥∈[𝑚,𝑛]的最大值记作𝑍𝑡[𝑚,𝑛],则当−2⩽𝑚⩽2时,𝑍43[𝑚,𝑚+4]的取值范围是A.[5,14]B.[5,16]C.[2,14]D.[2,16]二、选择题（本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分）9.如图,集合𝑈是全集,𝐴,𝐵是非空集合,定义集合𝐴∗𝐵为阴影部分表示的集合,则𝐴∗𝐵可表示为A.𝐵∩𝐶𝑈(𝐴∪𝐵)B.𝐴∩𝐶𝑈(𝐴∩𝐵)C.((∁𝑈𝐴)∩𝐵)∪((𝐶𝑈𝐵)∩𝐴)D.(𝐴∪𝐵)∩𝐶𝑈(𝐴∩𝐵)10.已知𝑎0,𝑏0,则下列结论正确的是A.2𝑎𝑏𝑎+𝑏⩽√𝑎𝑏B.𝑎+𝑏2⩾√𝑎2+𝑏22C.𝑎2+1𝑎⋅𝑏2+1𝑏的最小值为4D.若2𝑎+1𝑏=1,则2𝑎+𝑏的最小值为811.某打车平台欲对收费标准进行改革,现制定了甲、乙两种方案供乘客选择,其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示,则下列说法正确的是A.当打车距离为8km时,乘客选择甲方案省钱B.当打车距离为10km时,乘客选择甲、乙方案均可C.打车3km以上时,每公里增加的费用甲方案比乙方案多D.增加1公里费用增加0.7元12.定义域为𝐑的奇函数𝑓(𝑥),当𝑥0时,𝑓(𝑥)={2𝑥−1,𝑥⩾2𝑥2−2𝑥+2,0𝑥2,下列结论正确的有A.对∀𝑥1,𝑥2∈(−1,1)且𝑥1≠𝑥2,恒有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥20B.对∀𝑥1,𝑥2∈2,+∞),恒有𝑓(𝑥1+𝑥22)⩽𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2C.函数𝑦=𝑥与𝑓(𝑥)的图象共有4个交点D.若𝑥∈𝑎,0)时,𝑓(𝑥)的最大值为−1,则𝑎∈[−3,−1]三、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）13.已知集合𝐴={−1,0,𝑎2},𝐵={−1,𝑎},若𝐴∩𝐵=𝐵,则实数𝑎的值为________.14.若函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑘𝑥−2在[−1,2]上具有单调性,则实数𝑘的取值范围是________.15.已知命题:∃𝑥∈𝐑,𝑎𝑥2+𝑥−20是假命题,则实数𝑎的取值范围是________.16.黎曼函数是一个特殊的函数,由德国著名的数学家波恩哈德・黎曼发现提出,在高等数学中有着广泛的应用.其定义为:𝑅(𝑥)={1𝑝,当𝑥−𝑞𝑝(𝑝,𝑞都是正整数,𝑞𝑝是既约真分数)0,当𝑥=0,1或(0,1)上的无理数则𝑅(23)=________;若函数𝑓(𝑥)是定义在𝐑上的奇函数,且对任意𝑥都有𝑓(2−𝑥)+𝑓(𝑥)=0,当𝑥∈[0,1]时,𝑓(𝑥)=𝑅(𝑥),则𝑓(√22)−𝑓(−75)=________.(第一空2分,第二空3分)四、解答题（本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚）17.(本小题满分10分)已知全集𝑈=𝐑,𝐴={𝑥∈𝐑∥2𝑥−5∣9},𝐵={𝑥∣2𝑥⩽8}.(1)求𝐴∩𝐵,(𝐶𝑈𝐴)∪𝐵;(2)若𝐶={𝑥∣2𝑎𝑥𝑎+3},且𝐶∩𝐵=𝐶,求实数𝑎的取值范围.18.(本小题满分12分)已知函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)+2𝑓(1𝑥)=3𝑥.(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式;(2)判断函数𝑓(𝑥)在(0,+∞)上的单调性,并用定义证明.19.(本小题满分12分)已知不等式𝑚𝑥2−𝑥+20的解集为{𝑥∣−2𝑥𝑛}.(1)求𝑚、𝑛的值,并求不等式𝑛𝑥2+5𝑚𝑥−60的解集;(2)设函数𝑦=𝑎𝑥2+(𝑛+1)𝑥−2𝑎(𝑎≠0)的图象与𝑥轴交点的横坐标分别为𝑥1,𝑥2,若|𝑥1−𝑥2|⩽4,求实数𝑎的取值范围.20.(本小题满分12分)文化是魂,旅游为体.为推动文旅融合发展,不断提升、持续强化文化和旅游产业的竞争力,某景点推出对旅行社购买团体票的优惠活动,团体票价格规定如下:若团体人数不超过25人,每张票价50元;若超过25人,则每增加1人,每张票价降低2元,但每张票价不低于34元.（1）若某旅行社购票费用恰为1122元,求该旅行社购买团体票的人数;写出购票费用𝑓(𝑥)与团体人数𝑥之间的函数解析式;（2）若某旅行社计划对每名游客收取该景点门票费用45元,要使旅行社购票利润不低于150元,则旅行社至少需组织多少人进行团购?(购票利润=收取总费用−购票费用)21.(本小题满分12分)已知定义在[−1,1]上的函数𝑓(𝑥)的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀𝑥,𝑦∈[−1,1],𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦);②𝑓(−1)=3;③∀𝑚,𝑛∈[−1,1],且𝑚+𝑛≠0,都有(𝑚+𝑛)(𝑓(𝑚)+𝑓(𝑛))0.(1)判断𝑓(𝑥)的奇偶性,并说明理由;(2)判断并证明𝑓(𝑥)的单调性;(3)若不等式2𝑎𝑡+4⩽𝑓max(𝑥)在𝑎∈[−1,1]上有解,求实数𝑡的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥+1在[1,2]上的最小值为3.(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式;(2)解关于𝑥的不等式2𝑥2+(3−𝑘2)𝑥+1−𝑘⩽𝑓(𝑥)⩽𝑘(𝑥+1)+1(𝑘−1);(3)不等式𝑓(𝑥2+1)−𝑚(𝑥2+1)⩽−1在[0,√3]上恒成立,求实数𝑚的取值范围.高一数学试题答案第1页（共6页）高一数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C2.B3.A4.D5.B6.C7.D8.A二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.CD10.AC11.ABC12.BD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114.2k≤或1k≥15.18a≤16.13，15四、解答题（共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：（1）因为|25|9x,所以9259x，即27x，所以{|27}Axx，…………………………………………………………………1分而{|28}Bxx≤，所以{|27}ABxx，………………………………………………………………3分{|27}UAxxx或≤≥，………………………………………………………………4分(){|2UABxx≤或2}x，…………………………………………………………5分（2）因为CBC，所以CB.………………………………………………………6分若，则23aa≥，即3a≥………………………………………………………7分若，则232238aaaa≥≤，………………………………………………………………8分即315aaa≥≤，所以13a≤，……………………………………………………………9分综上所述：1a≥.…………………………………………………………………………10分高一数学试题答案第2页（共6页）18.解：（1）由1()2()3fxfxx，用1x代替x可得，13()2()ffxxx，……………………………………………………………2分联立方程，解得：2()(0)fxxxx.………………………………………………………6分（2）函数()fx在(0,)上单调递减，…………………………………………7分证明：任取12,(0,)xx，且12xx，…………………………………………8分12121222()()()()fxfxxxxx211221211222()2()()xxxxxxxxxx21122()(1)xxxx，…………………………………………10分因为12,(0,)xx，且12xx，所以210xx，12210xx，故12()()0fxfx，即12()()fxfx，所以()fx在(0,)上单调递减.…………………………………………12分41()2()313()2(),fxfxxffxxx分高一数学试题答案第3页（共6页）19.解：(1)由题意得1222nmnm，…………………………………………………2分解得11mn，………………………………………………………………………4分由2560xx，解得1x或6x，故不等式解集为{|16}xxx或，……………………………………………………6分另解：由题意知：方程220mxx的解为2xxn或将2x代入得1m，………………………………………………2分解方程220xx得21xx或，所以1n，…………………………………4分由2560xx，解得1x或6x，故不等式解集为{|16}xxx或，……………………………………………………6分(2)令222=0axxa解得2212112112=,aaxxaa，…………………8分所以12xx=22112112aaaa=22124aa≤，………………10分所以2122aa≤，解得2222aa或≤≥，所以实数a的取值范围是2222aa或≤≥.………………………………………12分另解：因