2022年石家庄市第一中学东校区高三上学期教学质量检测一数学试题试题解析

高三数学试卷第1页（共4页）石家庄一中东校区高三第一学期教学质量检测（一）数学考生注意：1.试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共6页，150分，考试时间为120分钟。2.请将第Ⅰ卷各小题所选答案的序号用2B铅笔涂在答题卡上；第Ⅱ卷各小题答案按照题号写在答题纸相应的位置上，在试卷上作答无效。3.考试结束，监考老师将答题卡收回。第Ⅰ卷（选择题共80分）一、选择题（本题包括12小题，1-8单选题，9-12多选，每小题5分，共40分）1.某中学的学生积极参加体育锻炼。其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%2.下列命题中不正确的是（）A.若命题为真命题，命题为假命题，则命题“∨(¬)”为真命题B.命题“若+≠7，则≠2且≠5”为真命题C.命题“若2−=0，则=0或=1”的否命题为“若2−≠0，则≠0且≠1”D.命题：∃0,sin2−1，则¬:∀0,sin≤2−13.设a,b都是不等于1的正数，则“333”是“loga3logb3”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数=log122++6在(−∞,2).上单调递增,则实数a的取值范围是（）A.[−5,−4]B.(−∞,−4]C.(−5,−4]D.[−4,+∞)5.若定义在R的奇函数f(x)在（-∞,0）单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0)的x的取高三数学试卷第2页（共4页）值范围是A.[−1,1]∪[3,+∞)B.[−3,−1]∪[0,1]C.[−1,0]∪[1,+∞)D.[−1,0]∪[1,3]6.若α，β都是锐角，且cos=55，sin(+)=35,则cos等于（）A.2525B.255C.2525或255D.55或5257.函数f(x)=3x−3−xx4大致图象为（）8.已知函数()=163+122+的导函数'()是偶函数，若方程'()−ln=0在区间，[1,]（其中为自然对数的底数）上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围A.[−1−122,−12]B.[−1−122,−12)C.[1−122,−12)D.[1−122,−12]9.对于∆ABC，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若cos=cos,则∆ABC为等腰三角形B.若∆ABC为锐角三角形，有A+Bπ2,则sincosC.若a=8,c=10,B=60°，则符合条件的∆ABC有两个D.若2+22C,则∆ABC是钝角三角形高三数学试卷第3页（共4页）10.以下结论正确的是（）A.2+12≥2B.2+3+12+3的最小值为2C.若a2+2b2=1,则12+12≥3+22D.若a+b=1,则1+1≥411.下列说法中正确的是（）A.函数()=ln(+1)−2只有一个零点，且该零点在区间(0,1)上B.f(x)是定义在R上的奇函数，f(1-x)=f(1+x),当x∈(-1,0)时，()=log22，则32=2C.已知f(x)是定义域为R，且f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数，则f(x+7)一定是奇函数D.实数a∈(-1,0)是命题“∃∈,2+2−1≥0”为假命题的充分不必要条件12.下列几个说法，其中正确的有（）A.己知函数f(x)的定义域是12,8,则f(2x)的定义域是−1,3B.当x∈(1,2)时，不等式2++40恒成立，则实数m的取值范围为m−5C.已知关于x的方程2+(2−1)+=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是a−1或a0D.若函数f(x)=4+x2ln1+x1−x在区间−12,12上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m=8。第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）13.曲线=3(2+)在点(0,0)处的切线方程为____________．14.已知函数f(x)=tsinx−23cosx,f’(π3)=92,若对任意实数x都有f(α−x)=f(α+x)(α∈R)成立，则tan的值为____________．15.在中，内角,,的对边分别为,,，=30∘，=45∘，=3.则=．点是平面内的一个动点，若∠=60∘，则面积的最大值为_________．1231232,016.()()32sin(2),0.6,,,xxfxfxaxxxxxxx函数若方程恰有个不同的实数解，记为x则的取值范围是____________高三数学试卷第4页（共4页）三、解答题（本题包括6小题，17题10分，18-22各12分）17.设命题p：实数x满足2−(α+1α)x+10,其中α1;命题q：实数x满足2−4+3≤0（1）若α=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数α的取值范围．18.△中，sin2−sin2−sin2=sinsin.（1）求A；（2）若=3，求△周长的最大值.19.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知:()=−2+24+100(0≤10)240(10≤20)−7+383(20≤40)（1）讲课开始后5分钟时，讲课开始后15分钟时与讲课开始后25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？20.如图，，是单位圆上的两个质点，点坐标为(1，0)，∠=60°，质点以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点作1⊥轴于1，过点作1⊥轴于1.(1)求经过1秒后，∠的弧度数；(2)求质点，在单位圆上的第一次相遇所用的时间；(3)记11的距离为，请写出与时间的函数关系式，并求出的最大值．21.已知()=4sin+2sin+3−3(1)求函数f(x)的的最小正周期和单调递减区间:(2)若关于x的方程f(x)=m+2sin2x在区间12,712上恰有两个不等实根,求实数m的取值范围.22.已知函数()=−α2+(α−2)+ln（1）当α=1时，求函数f(x)的单调区间；（2）若()≤−α−2−1在当∈(0,+∞)时恒成立，求实数α的取值范围．答案1-----8CBBADABB9-----12ABDACBCDAD13.y=3x14.15.3√22，9√3816.17.18.19.解:（1）f(5)=-52+24×5+100=195;f(15)=240f(25)=-7×25+383=208…………3分∴讲课开始15分钟时学生的注意力更集中.……………4分（2）当0t≤10时，由-t2+24t+100≥180，解得:4≤t≤10;.……………6分当10t≤20时，由f(t)=240180;….……………8分当20t≤40时，由-7t+383≥180，解得，20t≤29.……………10分综上分析可知，从第4分钟到第29分钟时，注意力均保持在180以上，共持续25分钟老师可以在达到所需的状态下讲授完这道题目.…………12分20.解：(1)经过1秒后，∠𝐵𝑂𝐴=𝜋3+1+1=𝜋3+2.(2)设经过t秒后相遇，则有𝑡(1+1)+𝜋3=2𝜋，解得𝑡=5𝜋6，即经过5𝜋6秒后𝐴，𝐵第一次相遇．(3)𝑦=|𝑠𝑖𝑛(𝑡+𝜋3)−𝑠𝑖𝑛(−𝑡)|=|32𝑠𝑖𝑛𝑡+√32𝑐𝑜𝑠𝑡|=√3|𝑠𝑖𝑛(𝑡+𝜋6)|，当𝑡+𝜋6=𝑘𝜋+𝜋2(𝑘∈𝑁)，即𝑡=𝑘𝜋+𝜋3(𝑘∈𝑁)时，𝑦𝑚𝑎𝑥=√3.21.（1）𝑓(𝑥)=4sin(𝑥+𝜋2)sin(𝑥+𝜋3)−√3=4cos𝑥⋅(12sin𝑥+√32cos𝑥)−√3=2sin𝑥⋅cos𝑥+2√3cos2𝑥−√3=sin2𝑥+√3cos2𝑥=2sin(2𝑥+𝜋3)所以f(x)的最小正周期𝑇=2𝜋2=𝜋令𝜋2+2𝑘𝜋≤2𝑥+𝜋3≤3𝜋2+2𝑘𝜋,𝑘∈𝐙解得：𝜋12+𝑘𝜋≤𝑥≤7𝜋12+𝑘𝜋,𝑘∈𝐙∴𝑓(𝑥)的单调递减区间为[𝜋12+𝑘𝜋,7𝜋12+𝑘𝜋](𝑘∈𝐙)(2)由(1)知，函数𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+𝜋3)方程2sin(2𝑥+𝜋3)=𝑚+2sin2𝑥在区间[𝜋12,7𝜋12]上恰有两个不等实根等价于m=2sin(2𝑥+𝜋3)−2sin2𝑥=√3cos2𝑥−sin2𝑥=2cos(2𝑥+𝜋6)，即𝑚2=cos(2𝑥+𝜋6)在[𝜋12,7𝜋12].上恰有两个不等实根，设ℎ(𝑥)=cos(2𝑥+𝜋6),𝑥∈[𝜋12,7𝜋12]依题意可知y=m与y=h(x)的图象有两个交点，函数h(x)在𝑥∈[𝜋12,7𝜋12]上的图象如图，由图可知实数m应满足−1𝑚2≤−12故实数m的取值范围{𝑚∣−2𝑚≤−1}22.答案解：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当α=1时，𝑓′(𝑥)=−(𝑥+1)(2𝑥−1)𝑥由f'(x)=0，解得𝑥=12，令f'(x)0，得𝑥∈(1,12)，所以f(x)在(0,12)上单调递增；令f'(x)0，得𝑥∈(12,+∞)，所以f(x)在(12,+∞)上单调递减．（2）𝑓(𝑥)≤𝑥(𝑒𝑥−𝛼𝑥−2−1𝑥)恒成立，即𝑥𝑒𝑥−1≥ln𝑥+𝛼𝑥在(0,+∞)上恒成立，即𝛼≤𝑒𝑥−ln𝑥𝑥−1𝑥在(0,+∞)上恒成立．令𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−ln𝑥𝑥−1𝑥，则𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+ln𝑥𝑥2=𝑥2𝑒𝑥+ln𝑥𝑥2，令ℎ(𝑥)=𝑥2𝑒𝑥+ln𝑥，则ℎ′(𝑥)=2𝑥𝑒𝑥+𝑥2𝑒𝑥+1𝑥0，所以h(x)在(0,+∞)上单调递增，而ℎ(1)=𝑒0,ℎ(1𝑒)=𝑒1𝑒𝑒2−10，故存在𝑥0∈(1𝑒,1)，使得h(x0)=0,即𝑥02𝑒𝑥0+ln𝑥0=0，所以𝑥0𝑒𝑥0=−1𝑥0ln𝑥0=1𝑥0ln1𝑥0=ln1𝑥0⋅𝑒ln1𝑥0．令𝜆(𝑥)=𝑥𝑒𝑥,𝑥∈(0,+∞),𝜆′(𝑥)=(𝑥+1)𝑒𝑥0，所以𝜆(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，所以𝑥0=ln1𝑥0=−ln𝑥0．当𝑥∈(0,𝑥0)时，h(x)0，即g'(x)0，故g(x)在(0,x0).上单调递减；当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，h(x)0，即g'(x)0，故g(x)在(x0,+∞)上单调递增，所以x=x0当时，g(x)取得极小值，也是最小值，所以𝑔(𝑥)min=𝑔(𝑥0)=𝑒𝑥0−ln𝑥0𝑥0−1𝑥0=𝑒ln1𝑥0−−𝑥0𝑥0−1𝑥0=1，故𝛼≤1．所以α的取值范围为(-∞,1]．