八年级(上)第四章四边形性质探索复习题及复习提纲

八年级（上）第四章复习四边形性质探索知识要点：一．二．四边形的相关概念和性质（1）在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形．四边形用表示它的各顶点的字母来表示．注意：表示四边形必须按顶点的顺序书写，可按照顺时针或逆时针的顺序．如图读作“四边形ABCD”．（2）在四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线．注意：①四边形共有两条对角线．②连结四边形的对角线也是一种常用的辅助线作法．（3）四边形的不稳定性：三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性．但是，四边形四边长确定后，它的形状不能确定．这就是四边形具有不稳定性，它在生产、生活方面有很多的应用．（4）四边形的内角和等于360；四边形的外角和等于360．注意：1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角．三．多边形的概念和性质（1）多边形的内角和等于180)2(n．（2）任意多边形的外角和等于360．（3）多边形共有2)3(nn条对角线．（4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。（5）正多边形的每个内角等于nn1802四、平行四边形1．平行四边形的性质平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。因为ABCD是平行四边形.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（（6）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。（7）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积．2．平行四边形的判定是平行四边形四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD543213．两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等．注意：(1)距离是指垂线段的长度，是正值．(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变．(3)平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．4．平行四边形的面积（1）、如图1，AFCDAEBCSABCD平行四边形．也就是平行四边形S底边长×高ah(a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离)．注意：这里的底是相对高而言的，也就是高所在的边，平行四边形任一边都可作底，底确定后，高也就确定了．（2）、同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图2，EBCFABCDSS平行四边形平行四边形．五．矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。1．矩形的性质：图1图2因为四边形ABCD是矩形）对角线相等（）四个角都是直角（切性质）具有平行四边形的一（321（4）矩形是轴对称、中心对称图形．（5）矩形面积＝长×宽（6）矩形的周长=（长+宽）×2注意：利用矩形的性质可以证明线段相等或倍分、直线平行、角相等等．2.矩形的判定边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321四边形ABCD是矩形.注意：①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．②用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．六．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．1．菱形的性质因为四边形ABCD是菱形组对角且每一条对角线平分一）对角线垂直平分对角（）四个边都相等（切性质）具有平行四边形的一（,321（4）菱形是轴对称、中心对称图形；（5）菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半（即21AC·BD)．（6）菱形的周长＝边长×4；（7）菱形的计算转化为直角三角形2.菱形的判定边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD是菱形.注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形．②利用菱形的性质及判定可以证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直，以及证明一个四边形是菱形和有关计算．七．正方形正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．1.正方形的性质因为ABCD是正方形分一组对角分，且每一条对角线平）对角线相等、垂直平（角都是直角）四个边都相等，四个（切性质边形、矩形、菱形的一）具有四边形、平行四（321（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴．（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正ABDOCABDOCABCDABCD1234ADBCOADBCADBCOADBCCDABABCDO方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．（6）正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等．（7）正方形的面积：若正方形的边长为a，对角线长为b，则222baS．2.正方形的判定一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321四边形ABCD是正方形.从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形．判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)．八．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图：九．平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等．定理的作用：①可以证明同一条直线上的线段相等．②可以任意等分线段．注意：(1)定理中的“平行线组”是每相邻两条的距离都相等的特殊的平行线组．(2)定理中的“平行线组”是由三条或三条以上直线组成的．平行线等分线段定理的推论：推论1：经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰．推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边．它们的作用为：平分线段，求线段的中点或证明线段的倍分．这两个推论可简记为：“中点”+“平行”=中点．十．梯形1．梯形的相关概念（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的两边叫做梯形的底．注意：通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形的上下底是以长短区分的，不是指位置说的．梯形中不平行的两边叫做梯形的腰．梯形两底的距离叫做梯形的高．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．（2）梯形一般如下分类：等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形梯形（3）解决梯形问题的基本思路：梯形问题三角形或平行四边形问题．这种思路常通过平移或旋转来实现。2．梯形的判定（1）定义法：判定四边形中①一组对边平行；②另一组对边不平行．（2）有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．注意：此判定可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．3．等腰梯形的性质因为四边形ABCD是等腰梯形）对角线相等（）同一底上的底角相等（）两底平行，两腰相等（321（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴．注意：等腰梯形在同一底上的两个角相等，不能说成：①等腰梯形两底上的角相等；②等腰梯形同一底上的两底角相等．4．等腰梯形的判定对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321四边形ABCD是等腰梯形5．梯形的面积（1）如图，DEABCDSABCD)(21梯形．（2）梯形中有关图形面积：①BACABDSS．②BOCAODSS．③BOCAODSS．十一．三角形、梯形中位线1．三角形、梯形中位线的概念（1）连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．注意：①三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形．②要会区别三角形中线与中位线．（2）连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．注意：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底的中点的线段．2．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．（2）三角形中位线定理的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行．②数量关系：可以证明线段的倍分关系．（3）任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半．结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分．结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．3．梯形中位线定理（1）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（2）梯形中位线定理的作用：①位置关系：可以证明三条直线平行．②数量关系：可以证明一条线段与另两条线段的倍分关系．4．梯形问题的常用辅助线十二．中心对称的有关定理1．关于中心对称的两个图形是全等形.2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.十三．常识1．图形折叠一般规则“出一对全等，一对相似”.2．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……；仅是中心对称图形的有：平行四边形……；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆…….注意：线段有两条对称轴.基本训练1、如图1，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______.2、如图2，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是.3、如上图3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形面积是49cm2，则AF=。4、已知：如图4，矩形ABCD的长和宽分别为2和1，以D为圆图2心，AD为半径作AE弧，再以AB的中点F为圆心，FB长为半图3径作BE弧，则阴影部分的面积为；图转化分割、拼接正方形菱形矩形平行四边形CDAB（3）∵ABCD是矩形又∵AD=AB∴四边形ABCD是正方形ABCDOABCDO(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC∵AC=BD∴ABCD四边形是等腰梯形EFDABCABEFDECABDCABDCABDC中点中点EFFABDCABDCABDCABDC中点中点GFEEEEBCDAEPF（图1）ABCDC′E5、如图5，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、4DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由．解：添加的条件：理由：6、如图6，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为。7、如下图,请写出等腰梯形ABABCD(∥)CD特有．．而一般梯形不具有图6的三个特征:_______________;________________。________________.8、如图,已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC.(1)若AD＝5,BC＝11,梯形的高是4,求梯形的周长.(2)若AD＝a,BC＝b,梯形的高是h,梯形的周长为c.则c＝.(请用含a、b、h的代数式表示;答案直接写在横线上,不要求证明.)9、已知梯形的中位线长为