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高中导数概念引入的教学研究4篇【导读】这篇文档“高中导数概念引入的教学研究4篇”由三一刀客最漂亮的网友为您分享整理,希望这篇范文对您有所帮助,喜欢就下载吧!高中导数概念引入的教学研究1投稿日期:2015.2.3所投栏目:(高中版)课堂教学研究手机号码:***电子邮箱:sx9106240@126.com高中导数概念引入的教学研究孙旋南京师范大学210000摘要:导数是微积分的核心概念,高中开设微积分课程具有多方面的价值和意义。新课标在导数概念的处理上有了大的变化,考虑到高中学生的认知水平要求不讲极限,但要求体会导数的思想及其内涵。极限思想与极限定义不同,极限思想在很早的时候就有了,而极限定义产生于解决微积分学的基本问题。高中导数蕴含着重要的极限思想,高中学生体会极限思想有利于之后微积分内容的学习。关键词:极限思想;瞬时速度;导数一、课程标准的要求全日制普通高中数学课程标准中导数概念及其几何意义的内容与要求是:“①通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。”《课程标准解读》介绍了新课程对“导数及其应用”教学处理上的主要变化:1.突出导数概念的本质。以往教材在编排上从极限概念开始学习,学生对极限概念认识和理解的困难,影响了对导数本质的认识和理解。因此,课标在这部分的处理有了大的变化,不讲极限概念,不是把导数作为一种特殊的极限(增量比的极限)来处理,而是直接通过实际背景和具体应用实例——速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,认识和理解导数概念;同时加强对导数几何意义的认识和理解;2.强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢,研究函数的基本性质和优化问题中的应用,并通过与初等方法比较,感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。二、导数概念的内涵高等数学中导数的定义是:函数y=f(x)在x的某邻域U(x,δ)中有定义,自变量在点x处获得一个增量△x,相应地,函数y获得增量△y=f(x+△x)-f(x)。考虑极限式子,如果该极限存在,我们就称该极限为函数y=f(x)在x处的导数,记作f′(x)或dx。函数的导数如果像这样依托于极限进行定义,没有具体的问题,高中生很难知道求导数到底是在干什么。苏教版教材中导数的定义是:设函数在区间(a,b)上有定义,,若无限趋近于0时,比值无限趋近于一个常数A,则称f(x)在处可导,并称该常数A为函数在处的导数,记作f'(x0)。人教版教材中导数的定义是:一般地,函数在处的瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作f'(x0)或即f'(x0)=但当与实际问题结合起来是,导数的内涵就清晰了,导数在一些具体问题中的意义诠释如下:运动学中,对象函数为S=S(t),S表示位移,t表示时间,则表示一段时内的平均速度。再进一步,我们容易意识到S'(t)对应着t时刻物体的瞬时速度v(t)。类似地,我们也能意识到V'(t)对应着t时刻物体的瞬时加速度a(t)。(2)几何中,y=f(x)图像曲线上有定点M(x,f(x))及动点N(x+△x,f(x+△x)),N的运动由自变量增量△x控制。显然,表示弦MN所在直线的斜率,进一步我们容易意识到,当动点N沿函数图像曲线不断靠近M时,MN所在直线就越来越接近图像曲线在点M处的切线了,自然f'(x)表示的应是点M(x,f(x))处切线的斜率。导数及其应用属于高中选修内容,此时学生已经在高一年级阶段学习了瞬时速度、平均速度和加速度等物理知识,结合瞬时速度引入导数概念可以帮助学生正确理解导数的内涵。导数的几何意义重要性突出,是导数从数到形的桥梁,让学生感受变化率和斜率的内在联系。由此可见,高中导数概念不仅具有标准化的数学语言描述,而且结合实际问题体现了其教学价值,成功地将高等数学知识下放到高中数学中。三、极限思想在教材中的体现及重要性新课标明确要求高中导数概念的引入不再先进行极限的教学,要让学生通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用,体会导数的思想及其内涵。从教材的内容安排来分析,苏教版已经将极限相关内容删除,但在导数定义中含有“无限趋近于”一词,这正是极限思想的体现。而人教版教材的选修Ⅰ和选修Ⅱ中考虑到文理科学生的差别在导数概念的引入上差异较大,但定义中仍然都存在极限一词。苏教版教材选修1-1和选修2-2中导数的概念是通过具有实际背景的生活实例,先让学生理解平均变化率是近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势,通过逐渐逼近让学生观察并体会某一点处的切线的斜率和瞬时加速度,进而升华出瞬时变化率,最后引入导数就是瞬时变化率。从教育心理学角度来看,学生学习新概念时总是会从原有认知出发,发现、理解原来知识体系和新事物间的联系和区别,理解概念时易受到已有知识结构和自身感性经验以及自身概括能力的影响。所以如果学生对于瞬时变化率的理解不透彻,进而对导数概念理解也不深刻。人教版教材中选修Ⅰ是通过讨论瞬时速度、切线的斜率和边际成本,指出虽然它们的实际意义不同,但从函数的角度来看,却是相同的,都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限,由此引入函数的概念。选修Ⅱ中导数概念主要从“气球膨胀率”和“高台跳水”展开,这两个实例虽然学生在生活中会接触,但是在抽象出理论知识时会要求的状态较为理想化使学生对于实例不能充分理解或者说学生对于导数概念更多的依赖于瞬时变化率。若想理解导数就必须有正确的极限思想,如果学生没有这种极限意识,在理解导数概念时肯定会困难重重。在导数概念讲解的过程中教师不必依托于形式化的极限定义,但是导数的概念甚至以后的微积分学习中仍然蕴含着极限思想,所以在课堂上对学生极限思维的培养意义重大。四、个人关于高中导数概念教学的建议及设计片段新课标在导数内容的变化是符合高中学生的身心发展特点的,形式化的极限定义对于高中生来说理解起来难度较大,许多调查研究表明以往高中生对极限概念的学习效果差强人意,从“平均变化率—瞬时变化率”的教学改善了导数的教学效果。教师对于导数的理解直接可以影响学生对于导数的学习情况,作为教师我们应该了解极限思想贯穿微积分教学的始终,可以说不论是中学还是大学,极限思想是微积分的核心。教师要善于利用问题,在教学活动中做些适当的安排,充分利用学生已有的物理知识、曲线斜率知识和变化率知识,将导数概念中的讲解透彻,让学生理解趋近于0并不等于0,这正是极限思想的体现,注重引导学生用数学眼光看问题,增强应用意识。除此之外,教师可以通过数学史的讲解让学生体会极限思想在处理一些问题上的好处,从而正确理解导数概念,有利于从微分到积分的学习。教师巧妙的教学设计可以做到“此时无声胜有声”,达到事半功倍的效果。对课本中“1.1导数的概念”的设计片段:1.创设情境著名物理学家、诺贝尔奖获得者费恩曼曾讲过这样一则笑话。一位女士由于驾车超速而被警察拦住。警察走过来对她说:“太太,您刚才的车速是60英里每小时!”这位女士反驳说:“不可能的!我才开了7分钟,还不到一个小时,怎么可能走了60英里呢?”太太,我的意思是:“如果您继续像刚才那样开车,在下一个小时里您将驶过60英里。”“这也是不可能的。我只要再行驶10英里就到家了,根本不需要再开过60英里的路程。”如果你是警察,你会如何解释呢?(设计意图:从学生已有的物理知识出发,引入瞬时速度与瞬时变化率,建立物理与数学的联系,通过举例让学生感受平均变化率和瞬时变化率的区别。)2.瞬时速度和导数的概念物理学中,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度,对这样的速度我们常用极限的思想方法去求解。通过不断探究得到瞬时速度的数学表达式,也就是位移对于时间的瞬时变化率,从而给出瞬时变化率即导数的概念。(探究过程就是将时间不断缩小,从时间间隔到时刻、平均速度到瞬时速度,最后得到瞬时速度就是瞬时变化率,这里不再赘述。)(设计意图:“正如牛顿所做的那样,理解导数之本质的最好方法是考虑速度。”从速度出发进行探究,将时间不断缩小就是从平均速度过渡到瞬时速度,从平均变化率过渡到瞬时变化率,顺水推舟给出导数概念。)参考文献:1.王佩.导数的现实应用内涵理解与教学策略[J].科技世界,2014(17):147-148.2.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京:人民教育出版社,2003.3.苏教版高中数学教材编写组.普通高中课程标准实验教科书[Z].江苏:江苏教育出版社,2012.4.人民教育出版社中数学室.全日制普通高级中学教科书[Z].北京:人民教育出版社,2003.5.宋宝和,郭兆明,房元霞.变化率思想:高中开设微积分课程的价值[J].课程•教材•教法,2006(9):44-47.6.王洪岩.高中生导数概念教学的研究[D].河北师范大学,2012.7.宗慧敏,王月华.导数概念教学体会[J].科技信息(职教论坛),2009(11):222,236.8.王忠.微积分学教学中的极限思想[J].内蒙古科技与经济,2001(2):107—109.联系电话:***Email:sx9106240@126.com作者简介:孙旋(1990.06—),女,硕士,南京师范大学,研究方向为学科教学(数学)导数的概念2第二章导数与微分本章教学目标与要求理解导数的概念,会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义(速度),几何意义(切线的斜率)和经济意义(边际),掌握基本初等函数的导数公式,导数的四则运算法则,复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法,对数求导法。理解可导性与连续性的关系。了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念,导数与微分之间的关系,以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。本章教学重点与难点1.导数概念及其求导法则;2.隐函数的导数;3.复合函数求导;4.微分的概念,可微和可导的关系,微分的计算§2.1导数的概念教学目的与要求1.理解函数导数的概念及其几何意义.2.掌握基本初等函数的导数,会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.教学重点与难点1.函数导数的概念、基本初等函数的导数2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数一、引例导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的,但与导数概念直接相联系的是以下两个问题:已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线.这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的.下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念.1.瞬时速度思考:已知一质点的运动规律为,t0为某一确定时刻,求质点在t0时刻的速度。在中学里我们学过平均速度,平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解,这不但对于火箭发射控制不够,就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的,火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求,至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度,而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.不过瞬时速度的概念并不神秘,它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理,物体运动具有惯性,不管它的速度变化多么快,在一段充分短的时间内,它的速度变化总是不大的,可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”.设质点运动的路程是时间的函数s(t),则质点在t0到这段时间内的平均速度为v可以看出它是质点在时刻t0速度的一个近似值,越小,平均速度v与t0时刻的瞬时速度越接近.故当时,平均速度v就发生了一个质的飞跃,平均速度转化为物体在t0时刻的瞬时速度,即物体在t0时刻的瞬时速度为(1)思考:按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度?因为自由落体运动的运动方程为:,2按照上面的公式,可知自由落体运动在t0时刻的瞬时速度为。这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.2.切线的斜率思考:圆的的切线的定义是什么?这个定义适用于一般的切线吗?引导学生得出答案:与圆只有一个交点的直线叫做
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