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精编资料,供您参考海伦公式的证明实用5篇【前言导读】由三一刀客最美丽的网友为您分享整理的“海伦公式的证明实用5篇”文档资料,以供您学习参考,希望这篇文档对您有所帮助,喜欢就分享给朋友们呢!海伦公式的几种证明与推广1海伦公式的几种证明与推广古镇高级中学付增德高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔heron'sformula〕:假设有一个三角形,边长分别为a,b,c,,三角形的面积s可由以下公式求得:s?(p?a)(p?b)(p?c),而公式里的p?12(a?b?c),称为半周长。图1c海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据morriskline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮,结构工整,有多种变形,如:s=p(p?a)(p?b)(p?c)222===141414(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a2=14[(a?b)?c][c144ab22?(a?b)]精编资料,供您参考22?b22?c2?2ab)[?(a22?b42?c42?2ab)]4=?(a2?b?c)222ab2?2ac2?2bc22?a?b?c12absinc和余弦定理教课书中并以习题形式出现,给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s?121212c2?a2?b2?2abcosc的证明过程:s?absinc=ab1?cosnc=精编资料,供您参考2ab1?(a2?b2?c22ab)2下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式,中国古代的天元术发展水平非常高,笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中,利用了解方程的方法,因此海伦公式可以作如下推证,从三角形最基本的面积公式s?abc?12aha入手,利用勾股定理,布列方程组求高。如图2,b图2c?x2?y2?c2222?2a?c?b22在△abc中,ad为边bc上的高,根据勾股定理,有?x?z?b解方程,得y?,2a?y?z?a?z?a?b?c2a,x?c?y?c?(a?c?b2a)?12a精编资料,供您参考4ac22?(a?c?b)下略。在求22高的方法上,我们也可以用斯特瓦尔特定理,根据斯氏定理,△abc顶点a于对边bc上任一点d间的距离ad有下列等式确定:abad?dc?ac?bd?ad?bc?bd?dc?bc,等式改写为?ab?dcbc?ac?bdbc?bc?dcbc?bdbcaa22而当点d是顶点a的正射影时,有bddc?abcosbaccosc??c?b22?b?c22,利用比例的性质,变形得bdbc?a?c22?b2a,精编资料,供您参考dcbc?a?b22?c2a,代入即求出高ad。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数的恒等式,容易证明下列三角恒等式:若∠a+∠b+∠c=180°那么abacbcta?ta+tan?tan?tan+tan=1,222222zzc图3如图3,在△abc中,内切圆⊙o的半径是r,则tana2?rx,tanb2?ry,tanc2?rz,代入恒等式tana2?tanb2+tana2?tanc2+tanb2?tanc2=1,得rxy精编资料,供您参考?rxz?ryz?1,两边同乘xyz,有等式r(x?y?z)?xyz???①又,b?c?a?(x?z)?(x?y)?(y?z)?2x,所以,x?z?a?b?cb?c?a,同理y?a?c?b,。???②于是△abc的面积s?12(a?b?c)r=12(y?z?x?z?x?y)r=(x?y?z)r=(x?y?z)r=14,把①、②式代入,即得s?(x?y?z)xyz(a?b?c)(a?b?c)(b?c?a)(a?c?b)三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系,我们不禁会类比猜想(更多请关注,简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢?由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形abcd中,设四条边长分别为a,b,c,d,且p?a?b?c?d,则s四边形=(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)现根据猜想进行证明。证明:如图,延长da,cb交于点e。设ea=eeb=f○○∵∠1+∠2=180∠2+∠3=180∴∠1=∠3∴△eab~△ecd∴fa?e=ef?c=bd,精编资料,供您参考s?eabs四边形abcd=bd?b解得:e=b(ab?cd)d?b③f=b(ad?bc)d?b④由于s四边形abcd=d?bbs△eab将③,④跟b=b(dd?b)?b代入海伦公式公式变形,得:∴s四边形abcd=d?b4eb22?(e?b?f)4bd?bb(ab?cd)(d(db42224?b)22=d4b?b)?[(b(ab?cd)(d?b)22精编资料,供您参考?b(d(d22?b)22?b)?b(ad?bc)(d22?b)22)]?b=4b(d?b)?4(ab?cd)(d22?b)?[(ab?cd)?(d2222?b)?(ad?bc)]22?=4(d?b)14(ab?cd)(d22?b)?[{ab?cd}?{d2222?b}?{ad?bc}]2222=4(d?b)14(ab?cd)(d22?b)?(ab2222?cd22?d精编资料,供您参考?b?2db22?ad22?bc)22=4(d?b)14(ab?cd)(d22?b)?[b(a2222?b?d?c)?d(d222?b?a?c)=4(d1?b)(d?b)[4(ab?cd)?(c2222?d?b?a)]22=4(2ab?2cd?c?d?b?a)(2ab?2cd?d22?b?a?c)=4a?c)?(b?d)][(b?d)?(a?c)]2222(a?b?c?d)(a?b?d?c)(a?d?c?b)(b?d?c?a)精编资料,供您参考=4=(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)所以,海伦公式的推广得证。图4参考文献[1]七市高中选修教材编写委员会.数学问题探究[m].北京:生活·读书·新知三联书店,2014:14~26.[2]王林全.初等几何研究教程[m].广州:暨南大学出版社,1996.求三角形面积——海伦公式2证明:海伦公式:若δabc的三边长为a、b、c,则sδabc=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4(这是海伦公式的变形,“负号“-”从a左则向右经过a、b、c”,负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期!我觉得这么记更简单,还设个什么l=(a+b=c)/2啊,多此一举!)证明:设边c上的高为h,则有√(a^2-h^2)+√(b^2-h^2)=c√(a^2-h^2)=c-√(b^2-h^2)两边平方,化简得:2c√(b^2-h^2)=b^2+c^2-a^2两边平方,化简得:h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))sδabc=ch/2=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2仔细化简一下,得:sδabc=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4用三角函数证明!证明:sδabc=absinc/2=ab√(1-(cosc)^2)/2————(1)∵cosc=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)∴代入(1)式,(仔细)化简得:sδabc=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4公式及证明3初中数学几何定理1。同角(或等角)的余角相等。2。对顶角相等。3。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。精编资料,供您参考4。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。5。同位角相等,两直线平行。6。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。7。直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。8。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。9。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。10。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。11。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。12。菱形性质:四条边相等、对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。13。正方形的四个角都是直角,四条边相等。两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。14。在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等,那么它们所对应的其余各对量都相等。15。垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对弧。平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。16。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。17。相似三角形对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。18.圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角。19。切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。20。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。②圆的切线垂直于经过切点的半径。③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。21。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线,平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。22。弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。23。相交弦定理;切割线定理;割线定理;初中数学几何一般证题途径:证明两线段相等1、两全等三角形中对应边相等2.同一三角形中等角对等边3、等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边精编资料,供您参考4、平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等5、直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等6、线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等7、角平分线上任一点到角的两边距离相等8、过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等9、同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等10、圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等11、两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等12、两圆的内(外)公切线的长相等13.等于同一线段的两条线段相等证明两个角相等1、两全等三角形的对应角相等2.同一三角形中等边对等角3、等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角4、两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等5、同角(或等角)的余角(或补角)相等6.同圆(或等圆)中,等弦(或同弧)所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角7、圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角8、相似三角形的对应角相等9.圆的内接四边形的外角等于内对角10、等于同一角的两个角相等证明两直线平行1、垂直于同一直线的各直线平行2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行3、平行四边形的对边平行4.三角形的中位线平行于第三边5、梯形的中位线平行于两底6.平行于同一直线的两直线平行7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平等行于第三边证明两条直线互相垂直1、等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边2、三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角精编资料,供您参考3、在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角4、邻补角的平分线互相垂直5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条6、两条直线相交成直角则两直线垂直7、利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上8、利用勾股定理的逆定理9.利用菱形的对角线互相垂直10、在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦11.利用半圆上的圆周角是直角证明线段的和差倍分1、作两
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