第5讲一般均衡和福利经济学

1第5讲一般均衡和福利经济学2完全竞争价格系统•我们假定所有的市场是完全竞争的–经济中有大量的同质商品•消费品和生产要素都是如此–每种商品有一个均衡价格–没有交易成本和运输成本–个人和厂商都有完美信息3一价定律•无论谁进行买卖，一件同质的商品交易价格相同–如果一种商品按照两种价格交易,需求者会去寻找低价格购买，厂商会去寻找高价格销售•这些行动使得价格均等化4完全竞争假设•每种商品有大量的参与人购买–每个参与人将价格当作给定的，在预算约束下寻求效用最大化•每种商品有大量的厂商生产–每个厂商将价格当作给定的，试图最大化利润5一般均衡•假定仅有两种商品,x和y•所有的消费者都有相同的偏好–利用无差异曲线图表示•可以利用生产可能性曲线表示投入如何与产出联系6埃奇沃斯盒状图•构建x和y的生产可能性曲线需要假设k和l的数量是固定的•埃奇沃斯盒表示了利用现存的k和l生产x和y的各种方式–盒中每一个点表示了将所有资源投向x和y的不同配置7埃奇沃斯盒状图OxOy总劳动总资本A生产x的资本生产y的资本生产y的劳动生产x的劳动y生产中的资本x生产中的资本y生产中的劳动x生产中的劳动8埃奇沃斯盒状图•埃奇沃斯盒中许多配置是技术无效率的–可以通过改变资本和劳动配置生产更多的x和y•我们假定竞争市场不会产生无效率投入选择•我们希望找到效率的配置–这代表了现实中的生产结果9埃奇沃斯盒状图•我们利用两种商品的等产量线–x的等产量线图以Ox为原点–y的等产量线图以Oy为原点•效率配置发生在等产量线的切点10埃奇沃斯盒状图OxOy总劳动总资本x2x1y1y2A点A是无效率的，因为通过在y1上的移动我们可以将x从x1增加到x2，同时保持y不变11埃奇沃斯盒状图OxOy总劳动总资本x2x1y1y2A我们也可以将y从y1增加到y2，同时保持x不变，这仅需要沿着x1运动12埃奇沃斯盒状图OxOyTotalLaborTotalCapital在每一个效率点,x和y生产中的RTS(k代替l)相等x2x1x4x3y1y2y3y4p4p3p2p113生产可能性前沿•有效点的轨迹表示在x的任何产量水平上y的最大产量–我们可以利用这点构造生产可能性前沿•表示了有效配置固定量的资本和劳动能够生产的x和y的组合14生产可能性前沿x的数量y的数量p4p3p2p1y1y2y3y4x1x2x3x4OxOy每一个生产效率点变成了生产可能性前沿上面的一个点生产可能性前沿斜率的负数是产品转换率(RPT)15产品转换率•两种产品之间的产品转换率(RPT)是生产可能性前沿斜率的负数()RPTxy对生产可能性前沿的斜率()()xydyRPTxyOOdx对沿着16产品转换率•产品转换率表示了在保证生产要素有效率使用的条件下，从技术上看，x如何能够代替y17生产可能性前沿的形状•前面的生产可能性前沿展示了递增的RPT–大多数生产都具有这种凹性•RPT等于MCx与MCy的比率18生产可能性前沿的形状•假定任何产出组合的成本为C(x,y)–沿着生产可能性前沿,C(x,y)不变•对成本函数全微分0dyyCdxxCdC19生产可能性前沿的形状•得到/()/xxyyMCdyCxRPTOOdxCyMC沿着•RPT测量了两种商品的相对边际成本20生产可能性前沿的形状•随着x产量上升，和y产量下降,MCx与MCy的比率上升–如果两种商品都是边际报酬递减，那么这就会发生•x的产量上升提高了MCx,而y产量下降降低了MCy–这种情况也会发生在某些要素更适合生产x而不是y21生产可能性前沿的形状•不过我们已经假定要素是同质的•我们需要一个遵循同质要素和规模报酬不变的解释•如果商品x和y按照不同比例使用要素，生产可能性前沿将是凹的22机会成本•生产可能性前沿说明了存在两种商品的多种效率组合•一种商品产量更多必然要求降低另一种商品的产量–这是经济学家所说的机会成本23机会成本•额外一单位x的机会成本是y的减少量•这样,RPT(x对y)很好地测量了机会成本–随着x产量提高，机会成本上升24生产可能性前沿的凹性•假定x和y的生产仅仅依赖于劳动，生产函数是5.0)(xxfxll5.0)(yyfyll•如果劳动供给固定在100,那么lx+ly=100•生产可能性前沿为x2+y2=100对于x,y025生产可能性前沿的凹性•利用全微分，RPT为:(2)2202dyxxxdxydyRPTdxyy或者•随着x产量上升，生产可能性前沿的斜率上升–前沿线是凹的26均衡价格的决定•我们可以利用生产可能性前沿和无差异曲线来说明均衡价格的决定–无差异曲线表示了消费者对于两种商品的偏好27均衡价格的决定x的数量y的数量U1U2U3y1x1产出将是x1,y1如果x和y的价格是px和py,社会的预算约束是Cxypp斜率CC消费者需求x1’,y1’x1’y1’28均衡价格的决定x的数量y的数量y1x1U1U2U3yxppslopeCCx的价格会上升，y的价格下降x1’y1’x存在超额需求，y存在超额供给超额供给超额需求29均衡价格的决定x的数量y的数量y1x1U1U2U3xypp斜率CCx1’y1’均衡产出是x1*和y1*y1*x1*均衡价格在px*和py*C*C***xypp斜率30比较静态分析•均衡价格比保持不变，直到偏好或者生产技术变化•如果偏好移向商品x,px/py将会上升，更多的x和更少的y会被生产出来–我们沿着生产可能性前沿顺时针移动31比较静态分析•生产商品x的技术进步会将生产可能性曲线外移–这会降低x的相对价格–消费更多的x•如果x是正常品–y的效应是模糊的32生产x的技术进步x的数量y的数量U1U2U3x1*x的相对价格会下降消费更多的xx2*生产x的技术进步将会向外推动生产可能性曲线33一般均衡定价•假定生产可能性前沿为x2+y2=100•假定社会偏好为U(x,y)=x0.5y0.534一般均衡定价•利润最大化厂商将会使得RPT等于px/pyyxppyxRPT•效用最大化要求yxppxyMRS35一般均衡定价•一般均衡要求厂商和个人面对相同的价格比MRSxyppyxRPTyx或者x*=y*36一般均衡价格的存在性•从19世纪开始，以列昂·瓦尔拉斯为代表的经济学家就开始考虑是否存在一组价格使得所有市场同时均衡–如果这组价格存在,如何找到?37一般均衡价格的存在性•假定经济中存在n种商品，供给量固定–令Si(i=1,…,n)是商品i的总供给量–令pi(i=1,…n)表示商品I的价格•商品i的总需求依赖于所有商品的价格Di(p1,…,pn)对于i=1,…,n38一般均衡价格的存在性•我们将这个需求函数写作依赖于全体价格(P)Di(P)•瓦尔拉斯问题:存在一组均衡价格使得Di(P*)=Si对于所有的i?39超额需求函数•在任意价格水平(P)，商品i的超额需求函数可以定义为EDi(P)=Di(P)–Si•这意味着均衡条件可以写作EDi(P*)=Di(P*)–Si=040超额需求函数•需求函数是零次齐次的–这意味着我们仅仅可以在瓦尔拉斯模型中获得相对价格•瓦尔拉斯同时假设需求函数是连续的–价格水平的微小变化导致需求数量的微小变化41瓦尔拉斯定律•瓦尔拉斯观察到n个超额需求函数不是相互独立的•瓦尔拉斯定律在任何价格水平，超额需求的总价值为0niiiPEDP10)(42瓦尔拉斯定律•瓦尔拉斯对于任何价格水平都成立(不仅仅是均衡价格)•不可能对所有商品都存在超额需求或者超额供给43瓦尔拉斯对于均衡价格存在性的证明•市场均衡条件为(n-1)个未知的相对价格提供了(n-1)个独立方程–我们能够通过求解这个系统获得均衡条件吗?•方程不一定是线性的•所有价格必须都是非负的•为了攻克这些困难,瓦尔拉斯建立了一个复杂的证明44瓦尔拉斯对于均衡价格存在性的证明•开始于任意一组价格•保持其他n-1个价格不变,找到商品1的均衡价格(p1’)•保持p1’和其他n-2个价格不变,找到商品2的均衡价格(p2’)–在p2变化到p2’后，商品1的价格就不再是均衡价格了45瓦尔拉斯对于均衡价格存在性的证明•利用价格p1’和p2’,解出p3’–利用这种方法直到找到全部相对价格•在2nd重复中,p2’,…,pn’维持不变，找到商品1的新均衡价格–重复这种方法直到找到全部价格46瓦尔拉斯对于均衡价格存在性的证明•瓦尔拉斯证明的重要性在于它说明了寻找均衡价格这个问题的同时性特征•因为其繁琐性,现在没有广泛使用•最近的工作用到了高等数学中一些相对简单的工具47布劳维尔不动点定理•有界、闭、凸集上的任何连续自映射[F(X)]至少有一个不动点(X*)使得F(X*)=X*48布劳维尔不动点定理xf(X)11045任何连续函数必定与45线相交假定f(X)是一个连续函数，定义在区间[0,1]，同时f(X)的取值也在区间[0,1]这个交点是“不动点”，因为f将这个点(X*)映射到其自身X*f(X*)49布劳维尔不动点定理•映射是一个规则，将一个集合的点对应到另一个集合中的点–令X是映射(F)定义域中的一个点•映射将X指向Y=F(X)–如果映射定义在n-维空间的一个子集(S),如果S的每个点(通过规则F)指向S中另外一个点,这个映射是将S映射到自身50布劳维尔不动点定理•一个映射是连续的，如果相互“紧邻”的点在映射后依然相互“紧邻”•布劳维尔不动点定理考虑了定义在某种集合上的映射–闭集(包含边界)–有界(不是无限大)–凸的(中间没有“洞”)51均衡价格存在性证明•因为仅仅相对价格重要,为了方便，可以通过定义价格，使得所有价格之和等于1•因此,对于任意一组价格(p1,…,pn),我们可以利用规范化的价格niiiippp1'52均衡价格存在性证明•这些新价格保持相对价格不变1'1niipjijipppp''•新价格之和等于153均衡价格存在性证明•我们假定价格可行集(S)包括所有总和等于的1非负数–S是我们应用布劳维尔不动点定理的集合–S是闭,有界,和凸的–我们需要定义一个从S向其自身的映射54自由商品•均衡不要求每个市场的超额需求为0•可以存在某些商品，市场在均衡的时候供给超过需求(超额需求为负)–这些商品的价格需要等于0–“自由商品”55自由商品•均衡条件是EDi(P*)=0对于pi*0EDi(P*)0对于pi*=0•注意这组均衡价格服从瓦尔拉斯定律56价格集合向其自身的映射•为了达到均衡,超额需求商品的价格需要上升,超额供给的商品价格需要下降57价格集合向其自身的映射•我们对于任意规范化价格(P)定义映射F(P),使得F(P)的第i个分量为Fi(P)=pi+EDi(P)•这个映射执行了升降价的必要功能58价格集合向其自身的映射•这个映射存在两个问题•首先,无法保证价格不是负的–映射必须从新定义为Fi(P)=Max[pi+EDi(P),0]–映射定义的新价格必须为正或者059价格集合向其自身的映射•齐次,从新计算的价格不一定是规范化的–总和不一定为1–可以如下规范化niiPF11)(–我们假定完成了这个规范化60布劳维尔定理应用•这样,F满足布劳维尔不动点定理的条件–是一个从集合S映射到自身的连续映射•存在一个点(P*)映射回自身•对于这个点,pi*=Max[pi*+EDi(P*),0]对于所有的i61布劳维尔定理应用•这表示P*是均衡价格–对于pi*0,pi*=pi*+EDi(P*)EDi(P*)=0–对于pi*=0,pi*+EDi(P*)0EDi(P*)062三种商品的一般均衡•经济Oz包含三种贵金属:(1)银,(2)金,和(3)铂金–每种金属有10(千)盎司•黄金和铂金的需求是11213122ppppD18213123ppppD63三种商品的一般均衡•黄金和铂金市场的均衡要求两个市场同时满足供给和需求相等101121312pppp101821312pppp64三种商品的一般均衡•求解这个方程组p2/p1=2p3/p