函数的可导性与连续性的关系教案3篇

函数的可导性与连续性的关系教案3篇【导读】这篇文档“函数的可导性与连续性的关系教案3篇”由三一刀客最漂亮的网友为您分享整理，希望这篇范文对您有所帮助，喜欢就下载吧！函数的可导性与连续性的关系教案1函数的可导性与连续性的关系教案教学目的1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件．2．使学生了解左导数和右导数的概念．教学重点和难点掌握函数的可导性与连续性的关系．教学过程一、复习提问1．导数的定义是什么？2．函数在点x0处连续的定义是什么？在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x0处连续必须具备以∴f(x)在点x0处连续．综合(1)(2)原命题得证．在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系．二、新课1．如果函数f(x)在点x0处可导，那么f(x)在点x0处连续．∴f(x)在点x0处连续．提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x0处一定可导吗？为什么？若不可导，举例说明．如果函数f(x)在点x0处连续，那么f(x)在该点不一定可导．例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y＝f(x)在点O(0，0)处没有切线．证明：(1)∵Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，∴函数y=|x|在点x0处是连续的．2．左导数与右导数的概念．(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)．(3)函数在一个闭区间上可导的定义．如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导．三、小结1．函数f(x)在x0处有定义是f(x)在x0处连续的必要而不充分条件．2．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处有极限的充分而不必要条件．3．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的必要而不充分的条件．四、布置作业作业解答的提示：=f(1)．∴f(x)在点x＝1处连续．∴f(x)在x=1处不可导．函数连续和可导性练习题21.讨论函数已知在处的连续性。在处的连续，试求a值。设函数在处的连续，试求a值。讨论函数在处的连续性和可导性。设函数，求。证明函数在处的连续但不可导。（7.确定a.与b的值，使在处可导。ax已知函数，求及又是否存在？设函数，则A为何值时f(x)在处的连续，并讨论此时函数在处是否可导。确定a.与b的值，使在处可导。构造可导函数证明函数不等式3构造可导函数证明不等式◎李思阳本溪市机电工程学校117022内容简要构造辅助函数，把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式。而如何构造一个可导函数，是用导数证明不等式的关键。本文从热门的高考题及模拟题中选出四种类型题供师生们参考。关键词构造辅助函数；导数；不等式。一．直接作差1（2011·辽宁文科）设函数，曲线过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2.（1）求a，b的值；（2）证明：。（1）解：0b.由已知条件得，，即解得。(2)证明:因为f(x)的定义域为（0，+∞），由（1）知。设，则。xx当0＜x＜1时，＞0，当x＞1时，＜0。所以g(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减。而g(1)=0，故当x＞0时，g(x)≤0，即。总结：直接作差，用导数得，从而得证。直接作差是证这类题最常用的方法。二．分离函数2.（2011·课标全国卷文科）已知函数处的切线方程为。（1）求a，b的值；（2）证明：当x＞0，且时，f(x)＞(1)解:略，。，曲线在点（1，f(1)）nx。，所以。（2）证明：由（1）知考虑函数（x＞0），则x=。所以当时，＜0，而当x∈（0，1）时，h(x)＞0，可得，故1h(x)＞0；1h(x)＞0。当x∈（1，+∞）时，h(x)＜0，可得lnx从而当x＞0，且时，f(x)＞。总结：作差后的函数如可分为两个函数的积，直接求导很繁，可取其中一个函数求导，再讨论证明。三．巧妙变形3.（2010·辽宁文科）已知函数。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），。解：（1）略。（2）不妨设x1≥x2，由于，故f(x)在（0，+∞）减少。所以等价于-x2，即。令，则。于是xx。xx从而g(x)在（0，+∞）单调减少，故g(x1)≤g(x2)。即，故，对任意x1，x2∈（0，+∞），。总结：通过等价变形，构造函数g(x)，利用g(x)的单调性得证。四．作函数积。exex1212证明:对任意的（0，﹢∞），＞x2设函数，g(x)=x+。ee，，得，易知fmin(x)=f(2)=—2。eee4.（2011·本溪一中模拟）对任意的（0，﹢∞），求证：＞，=0，得1，易知==。，∴fmin(x)＞gmax(x)，。ee2。因此＞。总结：直接做不好做，不等式两边同乘以一个函数，先进行证明，得到结果后再同除以这个函数，从而证得。