函数极限证明【精编4篇】

函数极限证明【精编4篇】【导读】这篇文档“函数极限证明【精编4篇】”由三一刀客最漂亮的网友为您分享整理，希望这篇范文对您有所帮助，喜欢就下载吧！两个重要极限的证明【第一篇】两个重要极限的证明第六节极限存在准则、两个重要极限教学目的：1使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限；2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法；教学重点：利用两个重要极限求极限教学过程：一、讲授新课：准则I：如果数列满足下列条件：(i)对;(ii)那么，数列的极限存在，且。证明：因为，所以对，当时，有，即，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有，即有：，即，所以。准则I′如果函数满足下列条件：(i)当时，有。(ii)当时，有。那么当时，的极限存在，且等于。第一个重要极限：作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。证明：作单位圆，如下图：设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即，(因为，所以上不等式不改变方向)当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切，有。又因为，所以而，证毕。例1。例2。例3。例4。准则Ⅱ：单调有界数列必有极限如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。准则Ⅱ″:单调下降，且有下界的数列必有极限。注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。第二个重要极限：作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限是不存在的。先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：，即：(i)现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。(ii)又令，所以，即对，又对所以{}是有界的。由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表示，即注1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看!2：我们可证明：，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知：。3：指数函数及自然对数中的底就是这个常数。极限证明证明范本【第二篇】极限证明-证明范文第1篇：极限证明极限证明1.设fx在??,??上无穷次可微，且fx??xnn???，求证当k?n?1时，?x，limfkx?0．x???2.设fx??0sinntdt，求证：当n为奇数时，fx是以2?为周期的周期函数；当n为偶数时fx是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．xfnx?0．?{xn}?3.设fx在??,??上无穷次可微；f0f?0?0xlim求证：n?1，????n，0?xn?xn?1，使fnxn?0．sinf(x)?1．求证limfx存在．4.设fx在a,??上连续，且xlim???x???5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.n??xn??n7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?.n??2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。12.证明：若???af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0???r?0?.i?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2r??dr17.设f?x?于[a,??)可导，且f'?x??c?0?c为常数?,证明：?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。18.设limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n语言证明limana?.n???bbn?sn?x??19.设函数列?sn?x??的每一项sn?x?都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，在u??x0?内闭一致收敛于s?x?,又limn??sn?x0????,证明：lims?x????.x?x020.叙述并证明limx???f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理???a23.设?fx=0.证明xlimfxdx收敛,且fx在?a,???上一致连续，???24.设a10，an?1＝an＋，证明＝1nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与m?h?分别表示f?x?在?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明：1）limn??m?hn?与limn??m?hn?都存在；2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;27.设an?a,用定义证明:limn???an?a28.设x1?0，xn?1?31?xn,n?1,2,?，证明limxn存在并求出来。n??3?xn??29.用“???语言”证明lim30.设fx?x?2x?1?0x?1x?3x?2，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?fxn，n?0，x?1n??1，2，?，求证：limxn?2。31.设fnx?cosx?cos2x???cosnx，求证：（a）对任意自然数n，方程fnx?1在[0,?/3)内有且仅有一个正根；（b）设xn?[0,1/3)是fnx?1的根，则limxn??/3。n??32.设函数ft在a,b连续，若有数列xn?a,yn?axn,yn?(a,b)使limfxn?an??及limfyn?bn??，则对a，b之间的任意数?，可找到数列xn?a，使得limfzn??33.设函数f在[a,b]上连续，且f?0,记fvn?fa?v?n,?n??exp{b?a，试证明：n1blnfxdx}n??并利用上述等式证明下?ab?a式2??2?ln1?2rcosx?r2dx?2lnrr?1fb?fa?kb?a34.设f‘0?k,试证明lima?0?b?0?35.设fx连续，?x??0fxtdt，且limx?0论?'x在x?0处的连续性。fx，求?'x，并讨?a（常数）x36．给出riemann积分?afxdx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛i1lim?s。n??ni?0n?x322,x?y?0?237.定义函数f?x???x?y2.证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。?0,x?y?0?n?1b38.设f是?0,??上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0f?2x??f?x??a,求证：f'?0?存在且等于a.x1n40.无穷数列?an??,bn?满足limn??an?a,limn??bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.n??ni?141.设f是?0,??上具有二阶连续导数的正函数，且f'?x??0,f''有界，则limt??f'?t??042.用???分析定义证明limt??1x?31?x2?9243.证明下列各题?1?设an??0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛；n?1??2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n2014an收敛，试证明limn2014an?0;n??n?1??3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0???收敛，试证明limn??n?n?1?a?1。45.设an?0，n=1,2，an?a?0,n??,证limnn???46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕limf（x）存在且小于1＋。x?＋?4，证明x?1）2x2＋f（x）?47.已知数列{an}收敛于a，且a?a???asn?，用定义证明{sn}也收敛于an48.若f?x?在?0,???上可微，limn??fx?0，求证?0,???内存在一个单x??x调数列{?n}，使得lim?n???且limf??n?0n??x??e?sinx?cosx?,x?049.设f?x???2,确定常数a,b,c,使得f''?x?在???,??处处存在。??ax?bx?c,x?0第2篇：极限的证明极限的证明利用极限存在准则证明：1当x趋近于正无穷时，inx/x的极限为0;2证明数列{xn}，其中a0，xo0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x0,故lnx/x0且lnx1),lnx/xx-1/x.而x-1/x极限为0故inx/x的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,xn-xn-1=/20,单调递减且xn=/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,xn和xn-1极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√一时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义和.几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……二时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证类似有(三单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质3学时教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：一函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性不等式性质:th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=现证对有註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:只证“+”和“”二利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：注意前四个极限中极限就是函数值这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1利用极限和例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7第3篇：数列极限的证明数列极限的证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限求极限我会|xn+1-a||xn-a|/a以此类推，改变数列下标可得|xn-a|