上海敬业中学圆锥曲线复习资料

1圆锥曲线1.圆锥曲线的定义：定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。例1-1：方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程：（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（0ab）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay＝1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B。例2-1:已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22）；2-2:若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是_________，22yx的最小值是_________2（答：5,2）(2)双曲线：焦点在x轴上：2222byax=1，焦点在y轴上：2222bxay＝1（0,0ab）。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是ABC≠0，且A，B异号。例2-3：12yx是双曲线的一条渐近线，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_____________________（答：2214xy）；(3)抛物线：开口向右时22(0)ypxp，开口向左时22(0)ypxp，开口向上时22(0)xpyp，开口向下时22(0)xpyp。3.圆锥曲线焦点位置的判断首先化成标准方程，然后再判断：（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。例3-1：已知方程12122mymx表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：)23,1()1,(）（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：(1)在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,ab，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；(2)在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。34.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：①范围：,axabyb②焦点：两个焦点(,0)c；③对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；（2）双曲线（以22221xyab（0,0ab）为例）：①范围：xa或,xayR；②焦点：两个焦点(,0)c；③对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0xykk；④两条渐近线：byxa。（3）抛物线（以22(0)ypxp为例）：①范围：0,xyR；②焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2px；例4-1：设Raa,0，则抛物线24axy的焦点坐标为_____（答：)161,0(a）；5、点00(,)Pxy和椭圆12222byax（0ab）的关系：（1）点00(,)Pxy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)Pxy在椭圆上220220byax＝1；（3）点00(,)Pxy在椭圆内2200221xyab46．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。例6-1：若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是___________（答：(-315,-1)）；6-2：直线y―kx―1=0与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；6-3：过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线几条？（答：3）；（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。例6-4：过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；56-5：过点(0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：445,33）；6-6：过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4，则满足条件的直线l有____条（答：3）；6-7：求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离（答：81313）；6-8：直线1axy与双曲线1322yx交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①3,3；②1a）；6-9：抛物线xy22上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______（答：2）；67、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）（2）（3）（4）8、弦长公式若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则AB＝2121kxx，若12,yy分别为A、B的纵坐标，则AB＝21211yyk，若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝2121kyy。例8-1：过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABO重心的横坐标为_______（答：3）；9、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=－0202yaxb；在双曲线22221xyab中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；在抛物线22(0)ypxp中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=0py。例9-1：如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是7（答：280xy）；9-2：试确定m的取值范围，使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称（答：213213,1313）；特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！10、你了解下列结论吗？（1）双曲线12222byax的渐近线方程为02222byax；（2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数，≠0）。例10-1：与双曲线116922yx有共同的渐近线，且过点)32,3(的双曲线方程为_______（答：224194xy）（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny；（4）若抛物线22(0)ypxp的焦点弦为AB，1122(,),(,)AxyBxy，则①12||ABxxp；②221212,4pxxyyp（5）若OA、OB是过抛物线22(0)ypxp顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2,0)p。11、动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立,xy之间的关系(,)0Fxy；例11-1：已知动点P到定点F(1,0)和直线3x的距离之和等于4，求P的轨迹方程．8（答：212(4)(34)yxx或24(03)yxx）；②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。例11-2：线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）)0(m，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：22yx）；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例11-2：由动点P向圆221xy作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为（答：224xy）；11-3：点M与点F(4,0)的距离比它到直线05xl：的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______（答：216yx）；11-4：一动圆与两圆⊙M：122yx和⊙N：012822xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为9（答：双曲线的一支）；④代入转移法：动点(,)Pxy依赖于另一动点00(,)Qxy的变化而变化，并且00(,)Qxy又在某已知曲线上，则可先用,xy的代数式表示00,xy，再将00,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程；例11-5：动点P是抛物线122xy上任一点，定点为)1,0(A,点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：3162xy）；⑤参数法：当动点(,)Pxy坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,xy均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。例11-6：过抛物线yx42的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：222xy）；