2020新教材人教B版高中数学必修第三册课时跟踪检测十八两角和与差的正弦

第1页共5页课时跟踪检测（十八）两角和与差的正弦A级——学考水平达标练1．已知sinα＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(2α＋β)＝()A．－13B.13C．－23D．23解析：选A因为cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋β)＝0，所以sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosα·sin(α＋β)＝13×(－1)＋0＝－13.2．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于()A．1B．－1C．0D．±1解析：选C由于sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.当k为偶数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin2β－sin2β＝0；当k为奇数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝－sin2β＋sin2β＝0.综上可知，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝0.3．sinθ＋sinθ＋2π3＋sinθ＋4π3的值为()A．0B.12C．1D．2解析：选A原式＝sinθ＋sinθcos2π3＋cosθsin2π3＋sinθcos4π3＋cosθsin4π3＝sinθ－12sinθ＋32cosθ－12sinθ－32cosθ＝0.4．在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：选C∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．由已知可得sin(B＋C)＝2sinCcosB⇒sinBcosC＋cosBsinC＝2sinCcosB⇒sinBcosC－cosBsinC＝0⇒sin(B－C)＝0.∵0＜B＜π，0＜C＜π，∴－π＜B－C＜π.∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．第2页共5页5．设△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()A.π6B.π3C.2π3D．5π6解析：选C∵m·n＝1＋cos(A＋B)＝3sinAcosB＋3cosAsinB，∴3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)．又A＋B＝π－C，整理得sinC＋π6＝12，∵0＜C＜π，∴π6＜C＋π6＜7π6，∴C＋π6＝5π6，∴C＝2π3.6．化简：sin(α＋β)＋sin(α－β)＋2sinαsin3π2－β＝_____________________.解析：原式＝sinαcosβ＋cosαsinβ＋sinαcosβ－cosα·sinβ－2sinαcosβ＝2sinαcosβ－2sinαcosβ＝0.答案：07．函数f(x)＝sinx－cosx，x∈0，π2的最小值为_______________________．解析：f(x)＝2sinx－π4，x∈0，π2.∵－π4≤x－π4≤π4，∴f(x)min＝2sin－π4＝－1.答案：－18．在△ABC中，A＝π4，cosB＝1010，则sinC等于_________________________．解析：由题意知，sinB＝31010，则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝22×1010＋22×31010＝255.答案：2559．已知函数f(x)＝asinx＋bcosx的图像经过点π3，0和π2，1.(1)求实数a和b的值，并判断f(x)的周期性；(2)当x为何值时，f(x)取得最大值？解：(1)依题意，有fπ3＝32a＋12b＝0，fπ2＝a＝1⇒a＝1，b＝－3.第3页共5页故f(x)＝sinx－3cosx＝2sinx－π3.∴f(x)的最小正周期为2π.(2)由(1)知f(x)＝2sinx－π3.因此，当x－π3＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝2kπ＋5π6(k∈Z)时，f(x)取得最大值2.10．已知π4α3π4，0βπ4，cosπ4＋α＝－35，sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解：因为π4α3π4，所以π2π4＋απ，所以sinπ4＋α＝1－cos2π4＋α＝45.又因为0βπ4，所以3π43π4＋βπ，所以cos3π4＋β＝－1－sin23π4＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sinπ4＋α＋3π4＋β＝－sinπ4＋αcos3π4＋β＋cosπ4＋α·sin3π4＋β＝－45×－1213＋－35×513＝6365.B级——高考水平高分练1．已知f(x)＝sinx＋π6，若sinα＝35π2απ，则fα＋π12＝()A.7210B．－210C.210D．－7210解析：选B因为π2απ，sinα＝35，所以cosα＝－45，因为f(x)＝sinx＋π6，所以fα＋π12＝sinα＋π12＋π6＝sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝2235－45＝－210.2．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，若AC―→·BC―→＝－1，则sinα＋π4等于()A.13B.23C.33D．23解析：选BAC―→＝(cosα－3，sinα)，BC―→＝(cosα，sinα－3)，AC―→·BC―→＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝1－3(sinα＋cosα)＝－1，所以3(sinα＋cosα)＝2，第4页共5页即32sinα＋π4＝2，所以sinα＋π4＝23.3．已知函数f(x)＝sinx＋π4－sinx－π4，则此函数的周期T＝________；若－π3≤x≤π6，则此函数的值域是________．解析：因为f(x)＝sinx＋π4－sinx－π4＝sinxcosπ4＋cosxsinπ4－sinxcosπ4＋cosxsinπ4＝2cosx，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π1＝2π.又－π3≤x≤π6，所以12≤f(x)≤1.答案：2π12，14．已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋7π6＝____________________________.解析：由cosα－π6＋sinα＝cosαcosπ6＋sinαsinπ6＋sinα＝32cosα＋32sinα＝435，得12cosα＋32sinα＝45，即sinπ6＋α＝45，所以sinα＋7π6＝sinπ＋α＋π6＝－sinα＋π6＝－45.答案：－455．求下列各式的值．(1)sin41°＋cos60°sin19°cos41°－sin60°sin19°；(2)2sin80°－sin20°cos20°.解：(1)原式＝sin60°－19°＋cos60°sin19°cos60°－19°－sin60°sin19°＝sin60°cos19°－cos60°sin19°＋cos60°sin19°cos60°cos19°＋sin60°sin19°－sin60°sin19°＝sin60°cos19°cos60°cos19°＝tan60°＝3.(2)原式＝2sin60°＋20°－sin20°cos20°＝2sin60°cos20°＋2cos60°sin20°－sin20°cos20°＝2sin60°cos20°cos20°＝3.6．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x＜π2.(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；第5页共5页(2)判断f(x)在0，π2上的单调性，并求f(x)的最大值．解：(1)f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3·sinxcosx·cosx＝cosx＋3sinx＝212cosx＋32sinx＝2sinπ6cosx＋cosπ6sinx＝2sinx＋π60≤x＜π2.(2)∵0≤x＜π2，∴f(x)在0，π3上是单调递增函数，在π3，π2上是单调递减函数．∴当x＝π3时，f(x)有最大值为2.