2020新教材人教B版高中数学必修第三册课时跟踪检测十二正切函数的性质与图像

第1页共5页课时跟踪检测（十二）正切函数的性质与图像A级——学考水平达标练1．函数f(x)＝2x－tanx在－π2，π2上的图像大致为()解析：选D∵f(x)为奇函数，故排除B、C；当x→π2时，f(x)→－∞，故选D.2．在下列函数中同时满足：①在0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是()A．y＝tanxB．y＝cosxC．y＝tanx2D．y＝－tanx解析：选CA，D的周期为π，B中函数在0，π2上递减，故选C.3．若tanx≥0，则()A．2kπ－π2x2kπ(k∈Z)B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)C．2kπ－π2x≤kπ(k∈Z)D．kπ≤xkπ＋π2(k∈Z)解析：选Dy＝tanx在－π2，π2内是增函数，且周期为π，在0，π2上函数值大于等于0，所以当kπ≤xkπ＋π2(k∈Z)时，tanx≥0.4．函数y＝tan3x＋π6图像的对称中心为()A．(0,0)B.π2，0C.kπ－π18，0，k∈ZD.kπ6－π18，0，k∈Z解析：选D由函数y＝tanx的对称中心为kπ2，0，k∈Z，令3x＋π6＝kπ2，k∈Z，则x＝kπ6－π18，k∈Z，∴y＝tan3x＋π6的对称中心为kπ6－π18，0，k∈Z.故选D.5．函数f(x)＝lg(tanx＋1＋tan2x)()第2页共5页A．是奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数解析：选A∵1＋tan2x＞|tanx|≥－tanx，∴f(x)的定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z，关于原点对称，又f(－x)＋f(x)＝lg(－tanx＋1＋tan2x)＋lg(tanx＋1＋tan2x)＝lg1＝0，∴f(x)为奇函数，故选A.6．函数y＝tan(sinx)的定义域为____________，值域为______________．解析：因为－1≤sinx≤1，所以tan(－1)≤tan(sinx)≤tan1，所以y＝tan(sinx)的定义域为R，值域为[－tan1，tan1]．答案：R[－tan1，tan1]7．函数y＝tanx＋π4的最小正周期为________．解析：y＝tanx＋π4＝tanx＋π4，x∈kπ－π4，kπ＋π4，k∈Z，－tanx＋π4，x∈kπ－3π4，kπ－π4，k∈Z，其图像如图所示：由图像知y＝tanx＋π4的最小正周期为π.答案：π8．若tanx＞tanπ5且x是第三象限角，则x的取值范围是__________________________．解析：∵tanx＞tanπ5＝tan6π5且x是第三象限角，∴2kπ＋6π5＜x＜2kπ＋3π2(k∈Z)，即x的取值范围是2kπ＋6π5，2kπ＋3π2(k∈Z)．答案：2kπ＋6π5，2kπ＋3π2(k∈Z)9．求函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈－π4，π4的值域．第3页共5页解：∵－π4≤x≤π4，∴－1≤tanx≤1.令tanx＝t，则t∈[－1,1]．∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴当t＝－1，即x＝－π4时，ymin＝－4；当t＝1，即x＝π4时，ymax＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．10．画出函数y＝|tanx|的图像，并根据图像判断其单调区间和奇偶性．解：由函数y＝|tanx|得y＝tanx，kπ≤x＜kπ＋π2k∈Z，－tanx，kπ－π2＜x＜kπk∈Z，根据正切函数图像的特点作出函数的图像，如图所示．由图像可知，函数y＝|tanx|是偶函数．函数y＝|tanx|的单调递增区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)．B级——高考水平高分练1．(多选题)关于函数f(x)＝tan(x＋φ)的下列说法，正确的有()A．对任意的φ，f(x)既不是奇函数也不是偶函数B．不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数C．存在φ，使f(x)是奇函数D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数解析：选BCD对于A，显然当φ＝kπ或kπ＋π2，k∈Z时，f(x)是奇函数，故A错，C正确；既是奇函数又是偶函数的函数为y＝0，显然对于任意的φ，f(x)都不可能恒为0，故B正确；D显然正确．2．已知函数y＝tanωx在区间－π2，π2内是减函数，则()第4页共5页A．0＜ω≤1B．－1≤ω＜0C．ω≥1D．ω≤－1解析：选B因为y＝tanx在－π2，π2内单调递增，所以易知ω＜0，又y＝tanωx(ω＜0)在－π2，π2上是单调递减的，所以其最小正周期T＝π|ω|≥π，综上，－1≤ω＜0.3．若直线x＝kπ2(|k|≤1)与函数y＝tan2x＋π4的图像不相交，则k＝________.解析：易知直线x＝π2＋nπ，n∈Z与函数y＝tanx的图像不相交，又由题意可知，2×kπ2＋π4＝π2＋nπ，n∈Z，得到k＝n＋14，n∈Z，而|k|≤1，故n＝0或－1，所以k＝14或k＝－34.答案：14或－344．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图像与x轴相交的两相邻点的坐标为π6，0和5π6，0，且过点(0，－3)．(1)求f(x)的解析式；(2)求满足f(x)≥3的x的取值范围．解：(1)由题意可得f(x)的周期为T＝5π6－π6＝2π3＝πω，所以ω＝32，得f(x)＝Atan32x＋φ，因为它的图像过点π6，0，所以Atan32×π6＋φ＝0，即tanπ4＋φ＝0，所以π4＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－π4(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝－π4，于是f(x)＝Atan32x－π4.又它的图像过点(0，－3)，所以Atan－π4＝－3，得A＝3，所以f(x)＝3tan32x－π4.(2)由(1)得3tan32x－π4≥3，所以tan32x－π4≥33，得kπ＋π6≤32x－π4kπ＋π2(k∈Z)，解得2kπ3＋5π18≤x2kπ3＋π2(k∈Z)，所以满足f(x)≥3的x的取值范围是第5页共5页2kπ3＋5π18，2kπ3＋π2(k∈Z)．5．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tanπ4－ax在x∈π8，5π8上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．解：∵y＝tanθ在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上为增函数，∴a＜0.又x∈π8，58π，∴－ax∈－a8π，－5a8π，∴π4－ax∈π4－a8π，π4－5a8π，∴kπ－π2≤π4－a8πk∈Z，kπ＋π2≥π4－5a8πk∈Z.解得－25－8k5≤a≤6－8k(k∈Z)．令－25－8k5＝6－8k，解得k＝1，此时－2≤a≤－2，∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意．