2020新教材人教B版高中数学必修第三册课时跟踪检测十一余弦函数的性质与图像

第1页共5页课时跟踪检测（十一）余弦函数的性质与图像A级——学考水平达标练1．函数y＝cosx与函数y＝－cosx的图像()A．关于直线x＝1对称B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称解析：选C作出函数y＝cosx与函数y＝－cosx的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选C.2．使函数y＝3－2cosx取得最小值时的x的集合为()A．{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}B．{x|x＝2kπ，k∈Z}C．{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}D．{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}解析：选B使函数y＝3－2cosx取得最小值时的x的集合，就是使函数y＝cosx取得最大值时的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}．3．已知函数y＝cosx在(a，b)上是增函数，则y＝cosx在(－b，－a)上是()A．增函数B．减函数C．增函数或减函数D．以上都不对解析：选B∵函数y＝cosx为偶函数，∴在关于y轴对称的区间上单调性相反．故选B.4．函数y＝1－2cosπ2x的最小值，最大值分别是()A．－1,3B．－1,1C．0,3D．0,1解析：选A∵cosπ2x∈[－1,1]，∴－2cosπ2x∈[－2,2]，∴y＝1－2cosπ2x的最小值为－1，最大值为3.5．(多选题)已知函数f(x)＝sin2x＋3π2(x∈R)，下面结论正确的是()A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)是偶函数C．函数f(x)的图像关于直线x＝π4对称第2页共5页D．函数f(x)在区间0，π2上是增函数解析：选ABDf(x)＝sin2x＋3π2＝－cos2x，最小正周期为π，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，故B正确；由函数f(x)＝－cos2x的图像可知，C错误，D正确．6．利用余弦曲线，写出满足cosx0，x∈[0,2π]的x的区间是____________________．解析：画出y＝cosx，x∈[0,2π]的图像如图所示．cosx0的区间为0，π2∪3π2，2π.答案：0，π2∪3π2，2π7．若函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．解析：因为y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－πa≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．答案：(－π，0]8．cos1，cos2，cos3的大小关系是________．(用“”连接)解析：由于0123π，而y＝cosx在[0，π)上单调递减，所以cos1cos2cos3.答案：cos1cos2cos39．已知函数f(x)＝2cos3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间(k∈Z)；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值(k∈Z)．解：(1)令－π＋2kπ≤3x＋π4≤2kπ(k∈Z)，可得－5π12＋23kπ≤x≤－π12＋23kπ(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间是－5π12＋23kπ，－π12＋23kπ(k∈Z)．(2)当3x＋π4＝－π＋2kπ，即x＝－5π12＋23kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值，最小值为－2.10．求作函数y＝－2cosx＋3在一个周期内的图像，并求函数的最大值及取得最大值第3页共5页时x的值．解：列表如下：x0π2π3π22πcosx10－101－2cosx＋313531描点、连线得出函数y＝－2cosx＋3在一个周期内的图像：由图可得，当x＝2kπ＋π，k∈Z时，函数取得最大值，ymax＝5.B级——高考水平高分练1．y＝|cosx|的一个单调递增区间是()A.－π2，π2B．[0，π]C.π，3π2D.3π2，2π解析：选D将y＝cosx的图像位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图像不变，即得y＝|cosx|的图像(如图)．故选D.2．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω≠0)对任意x都有fπ4＋x＝fπ4－x，则fπ4等于()A．2或0B．－2或2C．0D．－2或0解析：选B由题意，知x＝π4为函数f(x)的一条对称轴，∴fπ4＝±2.3．已知函数y＝2coskπx＋π3的周期为T，且T∈(1,3)，则正整数k＝________.解析：∵T＝2πkπ＝2k(k∈N*)，∴12k3(k∈N*)．∴23k2(k∈N*)．∴k＝1.第4页共5页答案：14．若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．解：作出函数y＝2cosx，x∈[0,2π]的图像，函数y＝2cosx，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．利用图像的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，∴S阴影＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.5．求函数y＝3－2cos2x－π3的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x为何值时，y取最大值或最小值．解：由于y＝cosx的对称中心坐标为kπ＋π2，0(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)．又由2x－π3＝kπ＋π2，得x＝kπ2＋5π12(k∈Z)；由2x－π3＝kπ，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，故y＝3－2cos2x－π3的对称中心坐标为kπ2＋5π12，3(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．因为当θ＝2kπ(k∈Z)时，y＝3－2cosθ取得最小值，所以当2x－π3＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ＋π6(k∈Z)时，y＝3－2cos2x－π3取得最小值1.同理可得当x＝kπ＋2π3(k∈Z)时，y＝3－2cos2x－π3取得最大值5.6．已知函数f(x)＝2cosωx(ω＞0)，且函数y＝f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求fπ8的值；(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移π6个单位后，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间．解：(1)∵f(x)的周期T＝π，故2πω＝π，∴ω＝2，第5页共5页∴f(x)＝2cos2x，∴fπ8＝2cosπ4＝2.(2)将y＝f(x)的图像向右平移π6个单位后，得到y＝fx－π6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝fx4－π6的图像，∴g(x)＝fx4－π6＝2cos2x4－π6＝2cosx2－π3.当2kπ≤x2－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋2π3≤x≤4kπ＋8π3(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为4kπ＋2π3，4kπ＋8π3(k∈Z)．