沈阳市郊联体20192020学年高一下学期期末考试数学试题解析版

2019-2020学年沈阳市郊联体高一下学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）A．4B．﹣4C．D．﹣【分析】根据三角函数的定义建立方程关系进行求解即可．解：∵角600°的终边上有一点（﹣4，a），∴tan600°＝，即a＝﹣4tan600°＝﹣4tan（360°+240°）＝﹣4tan240°＝﹣4（180°+60°）＝﹣4tan60°＝﹣4，故选：B．2．已知向量＝（x﹣5，3），＝（2，x），且⊥，则由x的值构成的集合是（）A．{2，3}B．{﹣1，6}C．{2}D．{6}【分析】根据题意，易得＝0，将两个向量坐标代入可得关系式（x﹣5）×2+3x＝0，解可得x的值，进而可得答案．解：根据题意，，则有＝0，将两个向量坐标代入可得，（x﹣5）×2+3x＝0，解可得，x＝2，故选：C．3．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A．B．1C．D．2（1+）【分析】由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB＝，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：1×2＝2．故选：A．4．已知0＜α＜π，2sin2α＝sinα，则sin（α﹣）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由已知求得cosα，再由诱导公式求解sin（α﹣）．解：∵0＜α＜π，∴sinα≠0，由2sin2α＝sinα，得4sinαcosα＝sinα，∴cosα＝．则sin（α﹣）＝﹣sin（）＝﹣cosα＝．故选：B．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则＝（）A．B．C．D．2【分析】根据同角的三角形函数的关系和等比性质即求出．解：∵，，∴sinA＝，由等式的性质可得＝＝＝2，故选：D．6．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（）A．mB．mC．mD．m【分析】由tan30°＝＝得到BE与塔高x间的关系，由tan60°＝求出BE值，从而得到塔高x的值．解：如图所示：设山高为AB，塔高为CD为x，且ABEC为矩形，由题意得tan30°＝＝＝，∴BE＝（200﹣x）．tan60°＝＝，∴BE＝，∴＝（200﹣x），x＝（m），故选：A．7．在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝2，点P是斜边上的一个三等分点，则＝（）A．0B．4C．D．﹣【分析】由题意，将所求等式变形，用直角三角形的两条直角边对应的向量表示，展开计算即可．解：直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝2，点P是斜边上的一个三等分点，则＝＝（）（）＝（）（）＝（））＝＝＝4；故选：B．8．若将函数f（x）＝2sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到的函数g（x）的图象，函数g（x）（）A．图象关于点（﹣，0）对称B．最小正周期是C．在（0，）上递增D．在（0，）上最大值是1【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的性质分别进行判断即可．解：若将函数f（x）＝2sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再则y＝2sin（2x+），向下平移一个单位得到的函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin（2x+）﹣1，A.2×（﹣）+＝0，则函数g（x）关于（﹣，﹣1）对称，故A错误，B．函数的周期T＝＝π，故B错误，C．当x∈（0，）时，2x+∈（，），此时函数g（x）为增函数，故C正确，D．由C知当x∈（0，）时，2x+∈（，），此时函数无最大值，故D错误，故选：C．9．已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出m⊥l的所有序号是（）①m⊥α，l⊥β，α⊥β②m⊥α，l∥β，α∥β③m⊂α，l⊥β，α∥β④m⊂α，l∥β，α⊥βA．①②③B．①②C．②③④D．③④【分析】根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理逐一判断每个选项即可．解：①由二面角夹角的求法可知，若m⊥α，l⊥β，α⊥β，则m⊥l，即①正确；②因为m⊥α，α∥β，所以m⊥β，因为l∥β，所以m⊥l，即②正确；③因为l⊥β，α∥β，所以l⊥α，因为m⊂α，由线面垂直的性质定理可知，m⊥l，即③正确；④若l∥β，α⊥β，则l⊂α或l∥α或l与α相交，只有当l与α相交且l⊥α时，才能推出m⊥l，即④错误；故选：A．10．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）＝sin（A﹣B+C），则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形【分析】结合三角形的内角和公式可得A+B＝π﹣C，A+C＝π﹣B，代入已知sin（A+B﹣C）＝sin（A﹣B+C）化简可得，sin2C＝sin2B，由于0＜2B＜π，0＜2C＜π从而可得2B＝2C或2B+2C＝π，从而可求解：∵A+B＝π﹣C，A+C＝π﹣B，∴sin（A+B﹣C）＝sin（π﹣2C）＝sin2Csin（A﹣B+C）＝sin（π﹣2B）＝sin2B，则sin2B＝sin2C，B＝C或2B＝π﹣2C，即．所以△ABC为等腰或直角三角形．故选：C．11．若函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在[0，]上仅有两个零点，则ω的取值范围是（）A．（1，）B．[1，）C．（，4）D．[，4）【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2π≤+＜3π，由此求得ω的范围．解：∵函数，在上，ωx+∈[，+]，若f（x）在上恰有两个零点，∴2π≤+＜3π，求得≤ω＜4，故选：D．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，点P是线段BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是（）A．B．C．D．【分析】连接A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A1C连线的长度，再由余弦定理即可求解．解：连接A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，连接A1C，其长度即为所求，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，∴矩形BCC1B1是边长为的正方形，则BC1＝2，又A1C1＝AC＝6，在矩形ABB1A1中，，则，易发现，，即，∴∠A1C1B＝90°，则∠A1C1C＝135°，∴．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知单位向量与的夹角为120°，则||＝．【分析】由已知结合向量数量积的定义及性质即可直接求解．解：由题意可得，||＝||＝1，＝1×＝﹣，则||2＝＝1+9+3＝13，则||＝．故答案为：．14．在钝角△ABC中，已知a＝2，b＝4，则最大边c的取值范围是【分析】利用三角形三边大小关系、余弦定理即可得出．解：c＜a+b＝6．ocsC＝＜0，解得c．∴c∈（2，6）．故答案为：（2，6）．15．已知＜α＜π，0＜β＜，tanα＝﹣，cos（β﹣α）＝，则sinβ的值为．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinα的值，由角的范围结合cos（β﹣α）＝＞0，可得范围：﹣＜β﹣α＜0，利用同角三角函数基本关系式可求sin（β﹣α），由角关系β＝（β﹣α）+α，利用两角和的正弦函数公式即可计算求值．解：∵＜α＜π，tanα＝﹣，∴cosα＝﹣＝﹣，sinα＝＝，∵0＜β＜，可得：﹣π＜β﹣α＜0，又∵cos（β﹣α）＝＞0，可得：﹣＜β﹣α＜0，∴sin（β﹣α）＝﹣＝﹣，∴sinβ＝sin[（β﹣α）+α]＝sin（β﹣α）cosα+cos（β﹣α）sinα＝（﹣）×（﹣）+×＝．故答案为：．16．已知△ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝2，P是平面ABC外的一点，且满足PA＝PB＝PC，∠APB＝120°，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．【分析】由已知可得棱锥顶点P在底面投影为△ABC的外心，则△ABP的外接圆半径等于三棱锥P﹣ABC外接球半径．解：PA＝PB＝PC，∴棱锥顶点P在底面投影为△ABC的外心，则△ABP的外接圆半径等于三棱锥P﹣ABC外接球半径，∵△ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝2，∠APB＝120°，∴△ABP外接圆半径r＝AB＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的半径R＝，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S＝4πR2＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知角θ的终边与单位圆x2+y2＝1在第一象限交于点P，且点P的坐标为．（1）求tanθ的值；（2）求的值．【分析】（1）将点P的坐标代入圆的方程x2+y2＝1可得y的值，进而根据任意角三角函数的定义可求tanθ的值．（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．解：（1）将代入圆的方程x2+y2＝1得：，因为在第一象限，所以，由任意角三角函数的定义得；（2）＝．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，B＝30°，且2asinA﹣（2b+c）sinB＝（b+2c）sinC．（1）求sin（A﹣C）的大小；（2）若△ABC的面积为3，求△ABC的周长．【分析】（1）由正弦定理可得2a2﹣b（2b+c）＝c（2c+b），化简后利用余弦定理求出A，再根据三角形的内角和求出sin（A﹣C）即可；（2）由面积公式可得b，c的值，再利用余弦定理求出a，即可得到三角形的周长．解：（1）∵2asinA﹣（2b+c）sinB＝（2c+b）sinC，∴2a2﹣b（2b+c）＝c（2c+b），整理得b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴，解得A＝120°．又B＝30°，∴C＝180°﹣120°﹣30°＝30°，即C＝B＝30°，∴sin（A﹣C）＝sin（120°﹣30°）＝1．（2）由（1）知b＝c，A＝120°，∴，解得．由余弦定理，得，即a＝6．∴ABC的周长为．19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△BCD，△ABD均为边长为2的正三角形．（1）若AC＝，求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）若AC＝2，求三棱锥A﹣BCD的体积．【分析】（1）取BD边中点O，连接AO，CO，由已知可得BD⊥OA，求解三角形证明OA⊥OC，由直线与平面垂直的判定，可得BD⊂平面BCD，进一步得到平面ABD⊥平面BCD；（2）证明BD⊥平面AOC，求出三角形AOC中的面积，由，可得三棱锥A﹣BCD的体积．解：（1）证明：取BD边中点O，连接AO，CO，∵△BCD，△ABD为边长为2的正三角形，∴BD⊥OA，则OC＝OA＝．∵OC2+OA2＝6＝AC2，∴OA⊥OC，又OC∩BD＝O，OC，BD⊂平面BCD，∴OA⊥平面BCD，∵OA平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；（2）解：∵BD⊥OC，BD⊥OA，且OA∩OC＝O，OA，OC⊂平面AOC，∴BD⊥平面AOC，在AOC中，OA＝OC＝，AC＝2，∴，∴＝．20．已知函数f（x）＝2sinxcosx﹣2cos（x+）cos（x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣]上的值域．【分析】（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x﹣），由此求得最小正周期以及对称轴方程．（II）由﹣≤x≤，求得2x﹣的范围，从而求得函数f（x）＝2sin（2x﹣）的值域．解：（I）求函数f（x）＝2sinxcosx﹣2cos（x+）cos（x﹣）＝sin2x+sin（2x﹣）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）．故函数f（x）的最小正周期为＝π，再由2x﹣＝kπ+可得对称轴方程为x＝+，k∈z．（II）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，故当2x﹣＝时，函数取得最大值为2，当2x﹣＝﹣时，函数取得最小值为﹣2×＝﹣，故函数f（x）在区间[﹣]上的值域为[﹣，2]．21．在△ABC中，a，b，c分别是角