20212022年沈阳市沈北新区九年级上学期期末数学试卷解析

2021-2022学年沈阳市沈北新区九年级上学期期末考试数学试卷一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣1，∴该函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1），故选：C．2．（2分）点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（）A．（5，﹣3）B．（﹣，3）C．（﹣5，﹣3）D．（，3）【分析】先根据点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝﹣3×5＝﹣15，A、∵5×（﹣3）＝﹣15，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；B、∵﹣×3＝﹣≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；C、∵﹣5×（﹣3）＝15≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；D、∵×3＝≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意．故选：A．3．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（）A．sinA＝B．cosA＝C．cosB＝D．tanB＝【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，所以sinA＝＝，cosA＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝，即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误；故选：B．4．（2分）菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（）A．cmB．2cmC．1cmD．2cm【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2（cm），则OA＝1（cm），然后由勾股定理求出OB＝（cm），即可求解．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2cm，∴OA＝1（cm），在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），∴BD＝2OB＝2（cm），故选：B．5．（2分）如图，AB∥CD∥EF，若＝，BD＝9，则DF的长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵＝，BD＝9，∴＝，解得：DF＝6，故选：C．6．（2分）将分别标有“中”“国”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（）A．B．C．D．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的结果有2种，∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为＝，故选：B．7．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为（）A．4B．8C．2D．4【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝4，∴AB＝2DF＝8，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝4，∴BF＝＝＝4．故选：D．8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A（﹣6，4），C（3，﹣2），则△OAB与△OCD的面积之比为（）A．1：1B．2：1C．3：1D．4：1【分析】直接利用位似图形的性质结合对应点坐标得出位似比，进而得出面积比．【解答】解：∵△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，A（﹣6，4），C（3，﹣2），∴△OAB与△OCD的位似比为：6：3＝2：1，则△OAB与△OCD的面积之比为：22：1＝4：1．故选：D．9．（2分）下列各组中两个图形不一定相似的是（）A．有一个角是120°的两个等腰三角形B．两个等腰直角三角形C．有一个角是35°的两个等腰三角形D．两个等边三角形【分析】根据相似三角形的判定及各图形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、有一个角是120°的两个等腰的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；B、两个等腰直角的三组角分别对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，不符合题意；C、各有一个角是35°的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是35°，而另一个等腰三角形的顶角是35°，则两个三角形一定不相似，符合题意；D、两个等边三角形的各内角都为60°，所以两等边三角形相似，不符合题意；故选：C．10．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误是（）A．a﹣b+c＞0B．abc＞0C．4a﹣2b+c＜0D．2a﹣b＝0【分析】根据二次函数图象判断出a，b，c的正负关系，对称轴，顶点坐标等，再进行判断即可．【解答】解：由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，故A项正确，不符合题意；∵抛物线开口向下，﹣＝﹣1，与y轴的交点为（0，1），∴a＜0，b＝2a＜0，c＝1＞0，∴2a﹣b＝0，abc＞0，故B、D项正确，不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在原点和点（1，0）之间，∴另一个交点在（﹣2，0）与（﹣3，0）之间，∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故C项错误，符合题意，故选：C．二.填空题（每题3分，共18分）11．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为．【分析】由已知的DE⊥AB，根据垂直的定义得到∠AED＝90°，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据锐角三角函数的定义得到sin∠BAD＝，将∠BAD的度数以及AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，∠BAD＝60°，AD＝2，∴sin60°＝，则DE＝AD•sin60°＝2×＝．故答案为：12．（3分）如图，△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是．【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．【解答】解：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，∴cosB＝＝，∴∠B＝45°，∵sinC＝＝＝，∴AD＝3，∴CD＝4，∴BD＝3，则△ABC的面积是：×AD×BC＝×3×（3+4）＝．故答案为：．13．（3分）如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B．过点A作AP⊥x轴，垂足为点P，连接BP．若B的坐标为（3，2），则S△BPO＝3．【分析】根据反比例函数的中心对称性，由B的坐标，即可求得A（﹣3，﹣2），然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：∵B的坐标为（3，2），∴A（﹣3，﹣2），∵过点A作AP⊥x轴，垂足为点P，∴OP＝3，∴S△BPO＝＝3，故答案为3．14．（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为10米．【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．故答案为：10．15．（3分）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是48mm．【分析】利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出边长．【解答】解：∵正方形PQMN的QM边在BC上，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴．设ED＝x，∴PN＝MN＝ED＝x，，∴解得：x＝48，∴这个正方形零件的边长是48mm．故答案为：48．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线AC上一点，若点P、A、B组成一个等腰三角形时，△PAB的面积为或或3．【分析】过B作BM⊥AC于M，根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出高BM，分为三种情况：①AB＝BP＝3，②AB＝AP＝3，③AP＝BP，分别画出图形，再求出面积即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，由勾股定理得：AC＝＝＝5，有三种情况：①当AB＝BP＝3时，如图1，过B作BM⊥AC于M，∵S△ABC＝，∴＝，解得：BM＝，∵AB＝BP＝3，BM⊥AC，∴AM＝PM＝＝，∴AP＝AM+PM＝，∴△PAB的面积S＝＝×＝；②当AB＝AP＝3时，如图2，∵BM＝，∴△PAB的面积S＝＝＝；③作AB的垂直平分线NQ，交AB于N，交AC于P，如图3，则AP＝BP，BN＝AN＝＝，∵四边形ABCD是矩形，NQ⊥AC，∴PN∥BC，∵AN＝BN，∴AP＝CP，∴PN＝BC＝＝2，∴△PAB的面积S＝＝2＝3；即△PAB的面积为或或3，故答案为：或或3．三、解答题17．（8分）解方程．（1）2x2+3x＝3．（2）计算：4sin30°+2cos45°﹣tan60°﹣2．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）将特殊锐角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】解：（1）2x2+3x＝3，2x2+3x﹣3＝0，∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，∴x＝＝∴x1＝，x2＝；（2）原式＝4×+2×﹣﹣2＝2+﹣﹣2＝﹣．18．（6分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．（1）从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于2的概率为．（2）从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的概率．【分析】（1）列表确定出所有等可能的情况数，找出小球上写的数字不小于2的情况数，即可求出所求概率；（2）列表确定出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2，3，4，共4种，其中数字不小于2的情况有：2，3，4，共3种，则P（小球上写的数字不小于2）＝；故答案为：；（2）根据题意列表得：12341﹣﹣﹣（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）﹣﹣﹣（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）﹣﹣﹣（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）﹣﹣﹣所有等可能的数有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的情况有8种，则P（两次摸出小球上的数字和恰好是奇数）＝＝．19．（6分）如图某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B．这时测得小岛O在北偏东45°方向，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．（结果保留根号）【分析】设OC＝x海里，依题意得BC＝OC＝x海里，AC＝x海里，再根据AC﹣BC＝10海里，即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可．【解答】解：设OC＝x海里，依题意得∠OAB＝30°，∠OBC＝∠BOC＝45°，作