2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则中元素的个数为（）{(,)|,,}Axyxyyx*N{(,)|8}BxyxyABA.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】【分析】采用列举法列举出中元素的即可.AB【详解】由题意，中的元素满足，且，AB8yxxy*,xyN由，得，82xyx4x所以满足的有，8xy(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)故中元素的个数为4.AB故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数的虚部是（）113iA.B.C.D.310110110310【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z即可.【详解】因为，1131313(13)(13)1010iziiii所以复数的虚部为.113zi310故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样1234,,,pppp411iip本的标准差最大的一组是（）A.B.14230.1,0.4pppp14230.4,0.1ppppC.D.14230.2,0.3pppp14230.3,0.2pppp【答案】B【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A选项，该组数据的平均数为，140.1230.42.5Ax方差为；2222212.50.122.50.432.50.442.50.10.65As对于B选项，该组数据的平均数为，140.4230.12.5Bx方差为；2222212.50.422.50.132.50.142.50.41.85Bs对于C选项，该组数据的平均数为，140.2230.32.5Cx方差为；2222212.50.222.50.332.50.342.50.21.05Cs对于D选项，该组数据的平均数为，140.3230.22.5Dx方差为.2222212.50.322.50.232.50.242.50.31.45Ds因此，B选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K0.23(53)()=1etIKt*t时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）*tA.60B.63C.66D.69【答案】C【解析】【分析】将代入函数结合求得即可得解.tt0.23531tKIte0.95ItKt【详解】，所以，则，0.23531tKIte0.23530.951tKItKe0.235319te所以，，解得.0.2353ln193t353660.23t故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A.（，0）B.（，0）C.（1，0）D.（2，0）1412【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐ODOE4COxCOxD标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.p【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，2x22(0)ypxp,CDODOE根据抛物线的对称性可以确定，所以，4DOxCOx(2,2)C代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，44p1p1(,0)2故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a，b满足，，，则（）||5a||6b6abcos,=aabA.B.C.D.3135193517351935【答案】D【解析】【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.aababcos,aab【详解】，，，.5a6b6ab225619aabaab，22222526367ababaabb因此，.1919cos,5735aabaabaab故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）23A.B.C.D.19131223【答案】A【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.AB222cos2ABBCACBABBC【详解】在中，，，ABC2cos3C4AC3BC根据余弦定理：2222cosABACBCACBCC2224322433AB可得，即29AB3AB由22299161cos22339ABBCACBABBC故.1cos9B故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+4B.4+4C.6+2D.4+22233【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABCADCCDBSSS△△△根据勾股定理可得：22ABADDB是边长为的等边三角形ADB△22根据三角形面积公式可得：2113sin60(22)23222ADBSABAD△该几何体的表面积是：.2362332故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）π4A.–2B.–1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】，，2tantan74tan12tan71tan令，则，整理得，解得，即.tan,1tt1271ttt2440tt2ttan2故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）x15A.y=2x+1B.y=2x+C.y=x+1D.y=x+12121212【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.l【详解】设直线在曲线上的切点为，则，lyx00,xx00x函数的导数为，则直线的斜率，yx12yxl012kx设直线的方程为，即，l00012yxxxx0020xxyx由于直线与圆相切，则，l2215xy001145xx两边平方并整理得，解得，（舍），2005410xx01x015x则直线的方程为，即.l210xy1122yx故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且22221xyab5F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】，，根据双曲线的定义可得，5ca5ca122PFPFa，即，12121||42PFFPFFSP△12||8PFPF，，12FPFP22212||2PFPFc，即，解得，22121224PFPFPFPFc22540aa1a故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知5584，13485．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A.abcB.bacC.bcaD.cab【答案】A【解析】【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得ab0,1cab8log5b85b，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、545845b13log8c138c4513845cabc的大小关系.【详解】由题意可知、、，ab0,1c，；222528log3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg241log5lg5lg522lg5lg25lg5abab由，得，由，得，，可得；8log5b85b54585488b54b45b由，得，由，得，，可得.13log8c138c45138451313c54c45c综上所述，.abc故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为_________．0,201,xyxyx，【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为，所以，易知截距越大，则越大，32zxy322xzy2zz平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，32xy322xzy由，得，，21yxx12xy(1,2)A所以max31227z故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.的展开式中常数项是__________（用数字作答）．262()xx【答案】240【解析】【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.622xx【详解】622xx其二项式展开通项：62612rrrrCxxT1226(2)rrrrxCx1236(2)rrrCx当，解得1230r4r的展开式中常数项是：.622xx