2016年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）

2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2016·山东理，1)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于(　　)zA．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i2．(2016·山东理，2)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－10}，则A∪B等于(　　)A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)3．(2016·山东理，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)A．56B．60C．120D．1404．(2016·山东理，4)若变量x，y满足Error!则x2＋y2的最大值是(　　)A．4B．9C．10D．125．(2016·山东理，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A.＋πB.＋π13231323C.＋πD．1＋π1326266．(2016·山东理，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．(2016·山东理，7)函数f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)的最小正周期是(　　)33A.B．ππ2C.D．2π3π28．(2016·山东理，8)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为13(　　)A．4B．－4C.D．－94949．(2016·山东理，9)已知函数f(x)的定义域为R，当x0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x时，f＝f，则f(6)等于(　　)12(x＋12)(x－12)A．－2B．－1C．0D．210．(2016·山东理，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2016·山东理，11)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．12．(2016·山东理，12)若5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.(ax2＋1x)13．(2016·山东理，13)已知双曲线E：－＝1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中x2a2y2b2点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．14．(2016·山东理，14)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．15．(2016·山东理，15)已知函数f(x)＝Error!其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．三、解答题：本答题共6小题，共75分．16．(2016·山东理，16)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA＋tanB)＝＋.tanAcosBtanBcosA(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．17．(2016·山东理，17)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F-BC-A的余弦值．12318．(2016·山东理，18)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.an＋1n＋1bn＋2n19．(2016·山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，3423各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．20．(2016·山东理，20)已知f(x)＝a(x－lnx)＋，a∈R.2x－1x2(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝1时，证明f(x)f′(x)＋对于任意的x∈[1,2]成立．3221．(2016·山东理，21)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(ab0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的x2a2y2b232焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐S1S2标．答案解析1.解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，∴Error!解得zError!∴z＝1－2i，故选B.答案　B2.解析　∵A＝{y|y0}，B＝{x|－1x1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.答案　C3.解析　设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D.答案　D4.解析　满足条件Error!的可行域如下图阴影部分(包括边界)，x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C.答案　C5.解析　由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝×1×1×1＋×221312π×3＝＋π，故选C.43(22)1326答案　C6.解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.答案　A7.解析　∵f(x)＝2sinxcosx＋(cos2x－sin2x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴T＝π，故选B.33(2x＋π3)答案　B8.解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×34＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.13答案　B9.解析　当x时，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．当x0时，f(x)＝x3－1且－12(x＋12)(x－12)1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(2)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.答案　D10.解析　对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数y＝lnx求导，得y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；1x对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.答案　A11.解析　第1次循环：i＝1，a＝1，b＝8，ab；第2次循环：i＝2，a＝3，b＝6，ab；第3次循环：i＝3，a＝6，b＝3，ab，输出i的值为3.答案　312.解析　∵Tr＋1＝C(ax2)5－rr＝a5－rCx，r5(1x)r55102r∴10－r＝5，解得r＝2，∴a3C＝－80，解得a＝－2.5235答案　－213.解析　由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c，又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边2b2a2b2a同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．(ca)ca答案　214.解析　由已知得，圆心(5,0)到直线y＝kx的距离小于半径，∴3，解得－k，由几何概型得P＝|5k|k2＋13434＝.34－(－34)1－－134答案　3415.解析　如图，当x≤m时，f(x)＝|x|；当xm时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m|m|.∵m0，∴m2－3m0，解得m3.答案　(3，＋∞)16.(1)证明　由题意知2＝＋.(sinAcosA＋sinBcosB)sinAcosAcosBsinBcosAcosB化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，从而sinA＋sinB＝2sinC，由正弦定理得a＋b＝2c.(2)解　由(1)知c＝，所以cosC＝＝＝－≥，当且仅当a＝b时，等号成a＋b2a2＋b2－c22aba2＋b2－(a＋b2)22ab38(ab＋ba)1412立，故cosC的最小值为.1217.(1)证明　设FC中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.(2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得B(0,2，0)，C(－2，0,0)．过点F作FM垂直OB于点M，33所以FM＝＝3，可得F(0，，3)．FB2－BM23故＝(－2，－2，0)，＝(0，－，3)．BC→33BF→3设m＝(x，y，z)是平面BCF的一个法向量．由Error!可得Error!可得平面BCF的一个法向量m＝，(－1，1，33)因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，所以cos〈m，n〉＝＝.m·n|m||n|77所以二面角F-BC-A的余弦值为.7718.解　(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.由Error!即Error!可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.(3)由(1)知，cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.6n＋6n＋13n＋3n又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]．两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×[4＋41－2n1－2－n＋1×2n＋2]＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.19.解　(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC.ABCD由事件的独立性与互斥性，P(E)＝P(ABCD)＋