2011年广东高考（理科）数学试题及答案

2011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题第1页（共11页）试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：柱体的体积公式V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高线性回归方程ybxa中系数计算公式其中,xy表示样本均值。N是正整数，则nnabab12(nnaab…21nnabb）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足12iz，其中i为虚数单位，则z=A．1iB.1iC.22iＤ．22i2．已知集合,Axy∣,xy为实数，且221xy，,Bxy,xy为实数，且yx，则AB的元素个数为Ａ．0　　　　Ｂ．1　　　　Ｃ．2　　　　　Ｄ．33.若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)cabＡ．4　　　　Ｂ．3　　　　　Ｃ．2　　　　　　Ｄ．04.设函数fx和gx分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．fxgx是偶函数　　　　　　　　　　　Ｂ．fxgx是奇函数Ｃ．fxgx是偶函数　　　　　　　　　　　Ｄ．fxgx是奇函数5.在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy给定。若(,)Mxy为D上的动点，点A的坐标为(2,1)，则zOMON的最大值为A．42　　　　B．32　　　　　　　C．4　　　　　D．36.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A．12　　　　B．35　　　　　　　C．23　　　　　D．347.如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A.B.C.D.63931231838.设S是整数集Z的非空子集，如果,,abS有abS，则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集，,TUZ且,,,abcT有有xyzV，则下列结论恒成立;,,,abcTxyzV的是A.,TV中至少有一个关于乘法是封闭的B.,TV中至多有一个关于乘法是封闭的C.,TV中有且只有一个关于乘法是封闭的2011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题第2页（共11页）D.,TV中每一个关于乘法都是封闭的16.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。(一）必做题（9-13题）9.不等式130xx的解集是.10.72xxx的展开式中，4x的系数是（用数字作答）11.等差数列前9项的和等于前4项的和.若141,0kaaa，则k=____________.na12.函数2()31fxxx在x=____________处取得极小值。13.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为和5cos(0)sinxy25()4xttRyt，它们的交点坐标为___________.15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点p分别作圆的切线和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB,则AB=。三．解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。（1）（本小题满分12分）已知函数1()2sin(),.36fxxxR(1)求的值；5()4f(2)设求的值.106,0,,(3),(32),22135fafcos()17.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。18.(本小题满分13分)如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，2PAPD,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1)证明：AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.19.(本小题满分14分)设圆C与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切。（1）求圆C的圆心轨迹L的方程;（2）已知点M3545(,),(5,0)55F，且P为L上动点，求MPFP的最大值及此时点P的坐标.20.（本小题共14分）设b0,数列na满足a1=b，11(2)22nnnnbaanan.（1）求数列na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，111.2nnnba2011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题第3页（共11页）21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:214yx.实数p，q满足240pq，x1，x2是方程20xpxq的两根，记12(,)max,pqxx。（1）过点20001(,)(0)4Appp作L的切线教y轴于点B.证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有0(,);2ppq（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b0,a≠0.过M(a，b)作L的两条切线12,ll，切点分别为22112211(,),(,)44EppEpp，12,ll与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b)X12PP(,)ab12p;（3）设D={(x,y)|y≤x-1,y≥14(x+1)2-54}.当点(p,q)取遍D时，求(,)pq的最小值（记为min）和最大值（记为max）.2011年广东高考理科数学参考答案一、选择题题号12345678答案BCDACDBA二、填空题９.　；10.　84；11.　10；12.　2；13.　185；[1,)14.　；15.　；25(1,)535三、解答题16．解：(1);55()2sin()2sin241264f(2)，，又，，10(3)2sin213f5sin13[0,]212cos13，，6(32)2sin()2cos25f3cos5又，，[0,]24sin5.16cos()coscossinsin6517．解：（1）乙厂生产的产品总数为；1453598（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；25235145（3），，的分布列为0,1,222325()iiCCPiC(0,1,2)i012P31035110均值.314()125105E18.解：(1)取AD的中点G，又PA=PD，PGAD，由题意知ΔABC是等边三角形，，BGAD又PG,BG是平面PGB的两条相交直线，，ADPGB平平，//,//EFPBDEGB，DEFPGB平平//平平ADDEF平平(2)由（1）知为二面角的平面角，PGBPADB在中，；在中，；RtPGA222172()24PGRtBGA222131()24BG在中，.PGB22221cos27PGBGPBPGBPGBG19．解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，1(5,0)F2(5,0)F由题意得或，12||2||2RCFCF21||2||2RCFCF，1212||||||425||CFCFFF可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则12,FF22221xyab，所以轨迹L的方程为．22224,2,5,1,1aacbcab2214xy（２）∵，仅当时，取＂＝＂，||||||||2MPFPMF(0)PMPF由知直线，联立并整理得解得或2MFk:2(5)MFlyx2214xy21532590xx655x，此时145(15x舍去）6525(,-)55P所以最大值等于2，此时．||||||MPFP3545(,)55PPAＳBＳCＳDＳFGPAＳBＳCＳDＳFE2011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题第4页（共11页）20．解（１）法一：，得，112(1)nnnabanan1112(1)121nnnnannnababba设，则，nnnba121nnbbbb(2)n（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，2bnb1212即，∴111(1)222nbnn2na（ⅱ）当时，设，则，2b12()nnbbb122(1)nnbbbb令，得，，21(1)bb12b1121()22nnbbbbb(2)n知是等比数列，，又，12nbb11112()()22nnbbbbb11bb，．12112()222nnnnnbbbbbbb(2)2nnnnnbbab法二：（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，2bnb1212即，∴111(1)222nbnn2na（ⅱ）当时，，，，2b1ab2222222(2)22bbbabb33223333(2)242bbbabbb猜想，下面用数学归纳法证明：(2)2nnnnnbbab①当时，猜想显然成立；1n②假设当时，，则nk(2)2kkkkkbbab，1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2kkkkkkkkkkkbakbkbbkbbaankbbkbb所以当时，猜想成立，1nk由①②知，，．*nN(2)2nnnnnbbab（２）（ⅰ）当时，，故时，命题成立；2b112212nnna2b（ⅱ）当时，，2b222212222nnnnnnbbb，212122122222nnnnnnbbbb，以上n个式子相加得1111221,22222nnnnnnnnbbbb，2212nnbb