2010年江西高考文科数学真题及答案

2010年江西高考文科数学真题及答案绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式如果事件,AB互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24SR如果事件,AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么343VRn次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)kknknnPkCpp第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．对于实数,,abc，“ab”是“22acbc”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若集合||1Axx，0Bxx，则ABA．11xxB．0xxC．01xxD．3．10(1)x展开式中3x项的系数为A．720B．720C．120D．1204．若42()fxaxbxc满足(1)2f，则(1)fA．4B．2C．2D．45．不等式22xx的解集是A．(,2)B．(,)C．(2,)D．(,2)(2,)6．函数2sinsin1yxx的值域为A．[1,1]B．5[,1]4C．5[,1]4D．5[1,]47．等比数列{}na中，15252||1,8,,aaaaa则naA．1(2)nB．1(2)nC．(2)nD．(2)n8．若函数1axyx的图像关于直线yx对称，则a为A．1B．1C．1D．任意实数9．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(01)p，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为A．(1)npB．1npC．npD．1(1)np10．直线3ykx与圆22(2)(3)4xy相交于M、N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是A．3[,0]4B．33[,]33C．[3,3]D．2[,0]311．如图，M是正方体1111ABCDABCD的棱1DD的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、11BC都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、11BC都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、11BC都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、11BC都平行.其中真命题是：A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③12．如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数sin2yx，sin()6yx，sin()3yx的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误．．的图像是ABCD1A1B1C1DADCBMxxxx2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上13．已知向量a，b满足||2b，a与b的夹角为60，则b在a上的投影是；【答案】1【解析】考查向量的投影定义，b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值14．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）；【答案】90【解析】考查排列组合里分组分配问题，15．点00(,)Axy在双曲线221432xy的右支上，若点A到右焦点的距离等于02x，则0x；【答案】2【解析】考查双曲线的比值定义，利用点A到右焦点比上到右准线的距离等于离心率得出0x216．长方体1111ABCDABCD的顶点均在同一个球面上，11ABAA，2BC，则A，B两点间的球面距离为.【答案】3【解析】考查球面距离，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公式得出答案三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）设函数32()63(2)2fxxaxax.（1）若()fx的两个极值点为12,xx，且121xx，求实数a的值；（2）是否存在实数a，使得()fx是(,)上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明理由.【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识解：2()186(2)2fxxaxa1A1B1C1DADCB（1）由已知有12()()0fxfx，从而122118axx，所以9a；（2）由2236(2)418236(4)0aaa，所以不存在实数a，使得()fx是R上的单调函数.18．（本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走出迷宫为止.(1)求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；(2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率.【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则1()3PA.(2)设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则1111()6662PB.19．（本小题满分12分）已知函数2()(1cot)sin2sin()sin()44fxxxxx.（1）若tan2，求()f；（2）若[,]122x，求()fx的取值范围.【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.解：（1）2()sinsincoscos2fxxxxx1cos21sin2cos222xxx11(sin2cos2)22xx由tan2得2222sincos2tan4sin2sincos1tan5，222222cossin1tan3cos2sincos1tan5，所以3()5f.（2）由（1）得1121()(sin2cos2)sin(2)22242fxxxx由[,]122x得552[,]4124x，所以2sin(2)[,1]42x从而2112()sin(2)[0,]2422fxx.20．（本小题满分12分）如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，23AB.（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=3，MO∥AB，则12EOMOEBAB，3EOOB，所以23EBAB，故45AEB.（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线.由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.sin603BFBC，tan2ABBF，25sin5所以，所求二面角的正弦值是255.解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD平面BCD,则MO⊥平面BCD.DMCBAyxMDCBOAz_C_H_M_D_E_B_O_A_F以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，3），B（0，-3，0），A（0，-3，23），（1）设直线AM与平面BCD所成的角为.因AM（0，3，3），平面BCD的法向量为(0,0,1)n.则有32sincos,26AMnAMnAMn，所以45.（2）(1,0,3)CM，(1,3,23)CA.设平面ACM的法向量为1(,,)nxyz，由11nCMnCA得303230xzxyz.解得3xz，yz，取1(3,1,1)n.又平面BCD的法向量为(0,0,1)n，则1111cos,5nnnnnn设所求二面角为，则2125sin1()55.21．（本小题满分12分）已知抛物线1C：22xbyb经过椭圆2C：22221(0)xyabab的两个焦点.(1)求椭圆2C的离心率；(2)设(3,)Qb，又,MN为1C与2C不在y轴上的两个交点，若QMN的重心在抛物线1C上，求1C和2C的方程.【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。解：（1）因为抛物线1C经过椭圆2C的两个焦点12(,0),(,0)FcFc，所以220cbb，即22cb，由22222abcc得椭圆2C的离心率22e.NxQMOyNxQMOy（2）由（1）可知222ab，椭圆2C的方程为：222212xybb联立抛物线1C的方程22xbyb得：2220ybyb，解得：2by或yb（舍去），所以62xb，即66(,),(,)2222bbMbNb，所以QMN的重心坐标为(1,0).因为重心在1C上，所以2210bb，得1b.所以22a.所以抛物线1C的方程为：21xy，椭圆2C的方程为：2212xy.22．（本小题满分14分）正实数数列{}na中,121,5aa,且2{}na成等差数列.(1)证明数列{}na中有无穷多项为无理数；(2)当n为何值时，na为整数，并求出使200na的所有整数项的和.【解析】考查等差数列及数列分组求和知识证明：（1）由已知有：2124(1)nan，从而124(1)nan，方法一：取21124kn，则2124kna（*kN）用反证法证明这些na都是无理数.假设2124kna为有理数，则na必为正整数，且24kna，故241kna.241kna,与(24)(24)1kknnaa矛盾，所以2124kna（*kN）都是无理数，即数列{}na中有无穷多项为无理数;方法二：因为21124,()nannN，当n的末位数字是3,4,8,9时，124n的末位数字是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时1124nan不是有理数，因这种n有无穷多，故这种无理项1na也有无穷多．(2)要使na为整数，由(1)(1)24(1)nnaa