2015年北京高考文科数学试题及答案

第1页（共36页）2015年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣5＜x＜2}C．{x|﹣3＜x＜3}D．{x|﹣5＜x＜3}2．（5分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1B．B（x+1）2+（y+1）2=1C．（x+1）2+（y+1）2=2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=23．（5分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinxB．y=x2cosxC．y=|lnx|D．y=2﹣x4．（5分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A．90B．100C．180D．3005．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）第2页（共36页）A．3B．4C．5D．66．（5分）（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B．C．D．2第3页（共36页）8．（5分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升二、填空题9．（5分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为．10．（5分）（2015•北京）2﹣3，3，log25三个数中最大数的是．11．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=．12．（5分）（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=．13．（5分）（2015•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为．14．（5分）（2015•北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．第4页（共36页）从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．三、解答题（共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．16．（13分）（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？17．（13分）（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18．（14分）（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．第5页（共36页）19．（13分）（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．20．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．第6页（共36页）2015年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣5＜x＜2}C．{x|﹣3＜x＜3}D．{x|﹣5＜x＜3}考点：交集及其运算．菁优网版权所有专题：集合．分析：直接利用集合的交集的运算法则求解即可．解答：解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B={x|﹣3＜x＜2}．故选：A．点评：本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力．2．（5分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1B．B（x+1）2+（y+1）2=1C．（x+1）2+（y+1）2=2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2考点：圆的标准方程．菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆．分析：利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．解答：解：由题意知圆半径第7页（共36页）r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．点评：本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．3．（5分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinxB．y=x2cosxC．y=|lnx|D．y=2﹣x考点：函数奇偶性的判断．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系，相等的就是偶函数．解答：解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数；对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数；对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；对于D，定义域为R，但是第8页（共36页）2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数；故选B点评：本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断f（﹣x）与f（x）关系，相等是偶函数，相反是奇函数．4．（5分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A．90B．100C．180D．300考点：分层抽样方法．菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计．分析：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论．解答：解：由题意，老年和青年第9页（共36页）教师的人数比为900：1600=9：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C．点评：本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当第10页（共36页）a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件a＜，a=，k=2不满足条件a＜，a=，k=3不满足条件a＜，a=，k=4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．6．（5分）（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C充分必要条D既不充分也第11页（共36页）．件．不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．解答：解：（1）；∴时，cos=1；∴第12页（共36页）；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选A．点评：考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判第13页（共36页）断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义．7．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B．C．D．2考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案解答：解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：第14页（共36页）其中PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PA=1，AB=1，AD=1，∴PB=，PC==．PD=该几何体最长棱的棱长为：故选：C．点评：本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键8．（5分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）第15页（共36页）A．6升B．8升C．10升D．12升考点：一次函数的性质与图象．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．解答：解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；故选：B．点评：本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力．二、填空题9．（5分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为﹣1．考点：复数的基本概念．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．解答：解：复数i（1+i）=﹣第16页（共36页）1+i，所求复数的实部为：﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．10．（5分）（2015•北京）2﹣3，3，log25三个数中最大数的是log25．考点：不等式比较大小．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2﹣3＜1，1＜3＜2，log25＞log24=2，即可得到最大数．解答：解：由于0＜2﹣3＜1，1＜3＜2，log25＞log24=2，则三个数中最大的数为log25．故答案为：log25．点评：本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，第17页（共36页）属于基础题．11．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=．考点：正弦定理．菁优网版权所有专题：解三角形．分析：由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．解答：解：由正弦定理可得，=，即有sinB===，由b＜a，则B＜A，可得B=．故答案为：．点评：本题考