2011年北京高考理科数学试题及答案

绝密★使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合2{|1}Pxx，{}Ma.若PMP,则a的取值范围是（A）(,1]（B）[1,)（C）[1,1]（D）(,1][1,)（2）复数212ii（A）i（B）i（C）4355i（D）4355i（3）在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是（A）(1,)2（B）(1,)2（C）(1,0)（D）(1,)（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）3（B）12（C）13（D）2数学（理）（北京卷）第1页（共5页）开始0,2is4i是1ii11sss否输出s结束（5）如图，,,ADAEBC分别与圆O切于点,,DEF，延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：①ADAEABBCCA；②AFAGADAE；③AFBADG其中，正确结论的序号是（A）①②（B）②③（C）①③（D）①②③（6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为,(),cxAxfxcxAA（,Ac为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（A）75,25（B）75,16（C）60,25（D）60,16（7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（A）8（B）62（C）10（D）82（8）设(0,0)A，(4,0)B，(4,4)Ct，(,4)Dt（tR），记()Nt为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()Nt的值域为（A）{9,10,11}（B）{9,10,12}（C）{9,11,12}（D）{10,11,12}数学（理）（北京卷）第2页（共5页）ABDCEOFG正（主）视图侧（左）视图俯视图443第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）在ABC中，若5,4bB，tan2A，则sinA；a。（10）已知向量(3,1)a，(0,1)b，(,3)ck，若2ab与c共线，则k。（11）在等比数列{}na中，若112a，44a，则公比q；12||||||naaa。（12）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个。（用数字作答）（13）已知函数32,2()(1),2xfxxxx过关于x的方程()fxk有两个不同的实根，则实数k的取值范围是。（14）曲线C是平面内与两个定点1(1,0)F和2(1,0)F的距离的积等于常数2(1)aa的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则12FPF的面积不大于212a；其中，所有正确结论的序号是。数学（理）（北京卷）第3页（共5页）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数()4cossin()16fxxx，（I）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）求()fx在区间[,]64上的最大值和最小值；（16）（本小题共14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，2,60ABBAD。（I）求证：BD平面PAC（Ⅱ）若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长；（17）（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模糊无法确认，在图中以X表示。990X891110（I）如果8X，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果9X，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望；注：方差2222121[()()()]nsxxxxxxn，其中x为12,,,nxxx的平均数数学（理）（北京卷）第4页（共5页）ABCDP甲组乙组（18）（本小题共13分）已知函数2()()xkfxxke。（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x，都有1()fxe，求k的取值范围；（19）（本小题共14分）已知椭圆22:14xGy，过点(,0)m作圆221xy的切线l交椭圆G于,AB两点，（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）将||AB表示为m的函数，并求||AB的最大值；（20）（本小题共13分）若数列12:,,,nnAaaa（2n）满足11(1,2,,1)kkaakn，则称nA为E数列，记12()nnSAaaa。（Ⅰ）写出一个满足150aa，且5()0SA的E数列5A；（Ⅱ）若112,2000an，证明E数列nA是递增数列的充要条件是2011na；（Ⅲ）对任意给定的整数(2)nn，是否存在首项为0的E数列nA，使得()0nSA，如果存在，写出一个满足条件的E数列nA；如果不存在，说明理由。（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）数学（理）（北京卷）第5页（共5页）2011年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•北京）已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题．菁优网版权所有【专题】集合．【分析】通过解不等式化简集合P；利用P∪M=P⇔M⊆P；求出a的范围．【解答】解：∵P={x|x2≤1}，∴P={x|﹣1≤x≤1}∵P∪M=P∴M⊆P∴a∈P﹣1≤a≤1故选：C．【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件P∪M=P⇔M⊆P是解题关键．2．（5分）（2011•北京）复数=（）A．iB．﹣iC．D．【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数．【分析】将分子、分母同乘以1﹣2i，再按多项式的乘法法则展开，将i2用﹣1代替即可．【解答】解：==i故选A【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；再按多项式的乘法法则展开即可．3．（5分）（2011•北京）在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是（）A．B．C．（1，0）D．（1，π）【考点】简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有【专题】直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】先在极坐标方程ρ=﹣2sinθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．【解答】解：将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．∴圆心的极坐标故选B．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．4．（5分）（2011•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3B．﹣C．D．2【考点】循环结构．菁优网版权所有【专题】算法和程序框图．【分析】i=0，满足条件i＜4，执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．【解答】解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=满足条件i＜4，执行循环体，i=2，s=﹣满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=﹣3满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5．（5分）（2011•北京）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB～△ADG其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】与圆有关的比例线段．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，得到第一个说法是正确的，根据切割线定理知道第二个说法是正确的，根据切割线定理知，两个三角形△ADF～△ADG，得到第三个说法错误．【解答】解：根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，有CE=CF，BF=BD，∴AD+AE=AB+BC+CA，故①正确，∵AD=AE，AE2=AF•AG，∴AF•AG=AD•AE，故②正确，根据切割线定理知△ADF～△ADG故③不正确，综上所述①②两个说法是正确的，故选A．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线长定理，考查圆的切割线定理，考查切割线构成的两个相似的三角形，本题是一个综合题目．6．（5分）（2011•北京）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A．75，25B．75，16C．60，25D．60，16【考点】函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，x=A的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A的函数值不相等，说明求f（4）要用x＜A对应的表达式，将方程组联解，可以求出C、A的值．【解答】解：由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，可得出=30故=4，可得A=16从而c=15=60故答案为D【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决．7．（5分）（2011•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8B．C．10D．【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】立体几何．【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选C．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型．8．（5分）（2011•北京）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（）A．{9，10，11}B．{9，10，12}C．{9，11，12}D．{10，11，12}【考点】集合的含义．菁优网版权所有【专题】集合．【分析】分别由t=0，1，2求出N（t），排除错误选项A，B，D，从而得到正确选项．【解答】解：当t=0时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），符合条件的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共九个，N（t）=9，故选项D不正确．当t=1时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0）