2015年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2015年高考天津市理科数学真题一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合UACB=（）A．2,5B．3,6C．2,5,6D．2,3,5,6,82．设变量,xy满足约束条件20.30.230.xxyxy则目标函数6zxy的最大值为（）A．3B．4C．18D．403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．10B．6C．14D．184．设xR，则“|2|1x＜”是“220xx＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O中，NM，是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点NM，，若2CM，4MD，3CN，则线段NE的长为（）A．83B．3C．103D．526．已知双曲线22221xyab（0b0a＞，＞）的一条渐近线过点（23，），且双曲线的一个焦点在抛物线247yx的准线上，则双曲线的方程为（）A．2212128xyB．2212821xyC．22134xyD．22143xy7．已知定义在R上的函数()21xmfx（m为实数）为偶函数，记0.5(log3)af，2(log5)bf，(2)cfm，则bca，，的大小关系为（）A．abc＜＜B．acb＜＜C．cab＜＜D．cba＜＜8．已知函数22||()22xxfxxx，2，（），＞，函数()(2)gxbfx，其中bR，若函数()()yfxgx恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．7()4，B．7()4，C．7(0)4，D．7(2)4，二、填空题9．i是虚数单位，若复数(12)()iai是纯虚数，则实数a的值为．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为3m．11．曲线2yx与直线yx所围成的封闭图形的面积为．12．在61()4xx的展开式中，2x的系数为．13．在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知ABC的面积为315，12,cos4bcA，则a的值为．14．在等腰梯形ABCD中，已知//,2,1,60ABDCABBCABC。动点E和F分别在线段BC和DC上，且1,9BEBCDFDC，则AEAF的最小值为．三、解答题15．已知函数22(x)sinsin()6fxx，xR．（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）求()fx在区间34，内的最大值和最小值．16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名。从这8名运动员中随机选择4人参加比赛。（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，侧棱1AA底面ABCD，ABAC，1AB，12ACAA，5ADCD，且点M和N分别为1BC和1DD的中点．（Ⅰ）求证：MN平面ABCD；（Ⅱ）求二面角11DACB的正弦值；（Ⅲ）设E为棱11AB上的点。若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1AE的长。18．已知数列na满足2nnaqa（q为实数，且1q），*nN，11a，22a，且21aa，34+aa，45+aa成等差数列。（Ⅰ）求q的值和na的通项公式；（Ⅱ）设222-1lognnnaba，*nN，求数列nb的前n项和．19．已知椭圆22221(b0)xyaab＞＞的左焦点为(,0)Fc，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆2224bxy截得的线段的长为c，43||3FM．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围。20．已知函数(),,nfxnxxxR其中*nN，且2n.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设曲线()yfx与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为()ygx，求证：对于任意的正实数x，都有()()fxgx；（Ⅲ）若关于x的方程()fxa（a为实数）有两个正实数根12xx，，求证：2121axxn．2015年高考天津市理科数学真题答案一、选择题1．答案：A解析过程：{2,5,8}UBð,所以{2,5}UABð，选A2．答案：C解析过程：不等式20.30.230.xxyxy所表示的平面区域如下图所示，当6zxy所表示直线经过点(0,3)B时，z有最大值18，选C3．答案：B解析过程：输入20,1Si；21,20218,25iS不成立；224,18414,45iS不成立248,1486,85iS成立输出6,选B4．答案：A解析过程：|2|112113xxx＜＜＜＜＜，22021xxxx＞＜-或＞所以“|2|1x＜”是“220xx＞”的充分不必要条件，选A5．答案：A解析过程：由相交弦定理可知，,AMMBCMMDCNNEANNB，又因为,MN是弦AB的三等分点，所以AMMBANNBCNNECMMD，所以24833CMMDNECN，选A6．答案：D解析过程：双曲线22221xyab（0b0a＞，＞）的渐近线方程为byxa，由点(23)，在渐近线上，所以32ba，双曲线的一个焦点在抛物线247yx准线方程7x上，所以7c，由此可解得2,3ab，所以双曲线方程为22143xy，选D7．答案：C解析过程：因为函数21xmfx为偶函数，所以0m，即21xfx，所以221loglog330.521(log3)log2121312,3aff2log502log5214,2(0)210bfcfmf所以cab，选C8．答案：D解析过程：由22,2,2,2,xxfxxx得222,0(2),0xxfxxx，所以222,0()(2)42,0222(2),2xxxyfxfxxxxxxx，即222,0()(2)2,0258,2xxxyfxfxxxxx()()()(2)yfxgxfxfxb,所以yfxgx恰有4个零点等价于方程()(2)0fxfxb有4个不同的解，即函数yb与函数()(2)yfxfx的图象的4个公共点，由图象可知724b.选D二、填空题9．答案：-2解析过程：12212iaiaai是纯虚数，所以20a，即2a10．答案：83解析过程：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积22181221133V.11．答案：16解析过程：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积122301111()0236Sxxdxxx.12．答案：1516解析过程：61()4xx展开式的通项为66216611()()44rrrrrrrTCxCxx，由622r得r=2，所以222236115()416TCxx，所以该项系数为151613．答案：8解析过程：因为0A，所以215sin1cos4AA，又115sin315,2428ABCSbcAbcbc，解方程组224bcbc得6,4bc，由余弦定理得2222212cos64264()644abcbcA，所以8a.14．答案：2918解析过程：因为1,9DFDC12DCAB，119199918CFDFDCDCDCDCAB，AEABBEABBC，19191818AFABBCCFABBCABABBC，19()18AEAFABBCABBC221919(1)1818ABBCABBC19199421cos1201818211721172929218921818三、解答题15．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值34，最小值12解析过程：（Ⅰ）解：由题意得1cos(2)1cos23()22xxfx=1131(cos2sin2)cos22222xxx311sin2cos2sin(2)4426xxx所以，()fx的最小正周期22T（Ⅱ）解：因为()fx在区间,36上是减函数，在区间,64上是增函数，1()34f，1()62f，3()44f.所以，()fx在区间,34上的最大值为34，最小值为12.2116．答案：（Ⅰ）635；（Ⅱ）见解析解析过程：（Ⅰ）解：由题意得22222333486()35CCCCPAC所以，事件A发生的概率为635.（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.45348()(1,2,3,4).kkCCPXkkC所以，随见变量X的分布列为X1234P1143737114随机变量X的数学期望1331512341477142EX17．答案：见解析解析过程：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)A,(0,1,0),B(2,0,0)C,(1,2,0)D,1(0,0,2)A,1(0,1,2),B1(2,0,2),C(1,2,2)D.又因为M,N分别为1BC和1DD的中点，得1(1,,1)2M,(1,2,1)N.（Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n为平面ABCD的一个法向量.MN=5(0,,0)2.由此可得0MNn，又因为直线MN平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．（Ⅱ）解：1(1,2,2)AD，(2,0,0)AC．设1(,,)nxyz为平面1ACD的法向量，则1110,0,nADnAC即220,20.xyzx不妨设1z，可得1(0,1,1)n.．设2(,,)nxyz为平面1ACB的法向量，则1110,0,nABnAC又1AB(0,1,2)，得20,20.yzx不妨设1z，可得2(0,2,1)n．因此有12121210cos,10nnnnnn，于是12310sin,10nn．所以，二面角11DACB的正弦值为31010。（Ⅲ）解：依题意，可设111,AEAB，其中0,1，则0,,2E，从而1,2,1NE．又0,0,1n为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cos,NEnNEnNEn2221(1)(2)1=13，整理得2430，又因为0,1，解得72．所以，线段1AE的长为72．18．答案：见解析解析过程：（Ⅰ）解：由已知，有34234534aaaaaaaa，即4253aaaa，所以2311aqaq．又因为1q，故322aa，由31aaq，得2q．当21()nkkN时，1122122nknkaa