2013年安徽高考数学真题（理科）解析版（word版）

12013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年安徽，理1，5分】设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若·i+2=2zzz，则z（）（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i【答案】A【解析】设()izababR,，则由·i+2=2zzz得()()iii2i(2)ababab，即22i(2i)22abab，所以22a，222abb，所以1a，1b，即i1izab，故选A．（2）【2013年安徽，理2，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）（A）16（B）2524（C）34（D）1112【答案】D【解析】开始28，11022s，224n；返回，48，113244s，426n；返回，68，31114612s，628n；返回，88不成立，输出1112s，故选D．（3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命题中，不是．．公理的是（）（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】由立体几何基本知识知，B选项为公理2，C选项为公理1，D选项为公理3，A选项不是公理，故选A．（4）【2013年安徽，理4，5分】“0a”是“函数1|()|fxaxx在区间(0)，内单调递增”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】函数fx的图象有以下三种情形：0a0a0a由图象可知fx在区间(0)，内单调递增时，0a，故选C．（5）【2013年安徽，理5，5分】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93．下列说法一定正确的是（）（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C【解析】解法一：对A选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A选项错；对B选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B选项错；对C选项，男生方差为40，女生方差为30．所以C选项正确；2对D选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91．所以D选项错，故选C．解法二：五名男生成绩的平均数为869488920150(9)9，五名女生成绩的平均数为18893938893915，五名男生成绩的方差为22222218690949088909290909085s，五名女生成绩的方差为2222288913939165s，所以2212ss，故选C．（6）【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式0fx的解集为112xxx或，则100xf＞的解集为（）（A）{|}1lg2xxx或（B）lg|}12{xx（C）l2|g{}xx（D）l2|g{}xx【答案】D【解析】由题意知11012x，所以1lglg22x，故选D．（7）【2013年安徽，理7，5分】在极坐标系中，圆2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）（A）()0cos2R和（B）)s(co2R和（C）)s(co1R和（D）()0cos1R和【答案】B【解析】由题意可知，圆2cos可化为普通方程为2211()xy．所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为0x和2x，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()R和cos2，故选B．（8）【2013年安徽，理8，5分】函数yfx的图象如图所示，在区间[]ab,上可找到2nn个不同的数12nxxx,，,，使得1212===nnfxfxfxxxx，则n的取值范围是（）（A）3,4（B）2,3,4（C）3,4,5（D）2,3【答案】B【解析】1212===nnfxfxfxxxx可化为1212000===000nnfxfxfxxxx，故上式可理解为yfx图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n可看成过原点的直线与yfx的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为2n，②为3n，③为4n，故选B．（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足=2OAOBOAOB，则点集=+,1,POPOAOBR所表示的区域的面积是（）（A）22（B）23（C）42（D）43【答案】D【解析】以OA，OB为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A，B两点关于x轴对称，由已知=2OAOBOAOB，可得出60AOB，点3,1A，点3,1B，点23,0D，现设()Pxy，，则由=+OPOAOB得,3,13,1xy，即3xy，由于1，R，，可得3311xy，画出动点()Pxy，满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为232=43，故选D．（10）【2013年安徽，理10，5分】若函数32fxxaxbxc有极值点1x，2x，且11fxx，则关于x的方程2320fxafxb的不同实根个数是（）3（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】A【解析】由2320fxxaxb得，1xx或2xx，即2320fxafxb的根为1fxx或2fxx的解．如图所示12xx21xx由图象可知1fxx有2个解，2fxx有1个解，因此2320fxafxb的不同实根个数为3，故选A．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年安徽，理11，5分】若将函数sin24fxx的图像向右平移个单位，所得图像关于y轴对称，则的最小正值是．【答案】12【解析】∵83axx的通项为1838C()rrrrxax883388=CCrrrrrrrraxxax，∴843rr，解得3r．∴338C7a，得12a．（12）【2013年安徽，理12，5分】设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若2bca，3sin5sinAB，则角C．【答案】2π3【解析】∵3sin5sinAB，∴35ab．①又∵2bca，②∴由①②可得，53ab，73cb，∴22222257133cos52223bbbbacCabbb，∴2π3C．（13）【2013年安徽，理13，5分】已知直线ya交抛物线2yx于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为．【答案】[1)，【解析】如图，设20200()()Cxxxa,，,Aaa，,Baa，则200,CAaxax，200,CBaxax．∵CACB，∴0CACB，即222000axax，220010axax，∴2010xa，∴1a．（14）【2013年安徽，理14，5分】如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有nnAB相互平行，且所有梯形11nnnnABBA的面积均相等．设nnOAa．若11a，22a，则数列na的通项公式是．【答案】32nan4【解析】设11OABSS，∵11a，22a，nnOAa，∴11OA，22OA．又易知1122OABOAB∽，∴1122221221124OABOABSOASOA．∴11112233OABABBASSS梯形．∵所有梯形11nnnnABBA的面积均相等，且11nnOABOAB∽，∴11113132nnOABnOABSOASOASSnSn．∴1132naan，∴32nan．（15）【2013年安徽，理15，5分】如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点APQ，，的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当012CQ时，S为四边形；②当12CQ时，S为等腰梯形；③当34CQ时，S与11CD的交点R满足113CR；④当341CQ时，S为六边形；⑤当1CQ时，S的面积为62【答案】①②③⑤【解析】当12CQ时，222111154DQDCCQ，22254APABBP，所以1DQAP，又因为1//2ADPQ，所以②正确；当012CQ时，截面为APQM，且为四边形，故①也正确，如图（1）所示；如（2）图，当34CQ时，由1QCNQCR∽得11CQCRCQCN，即114314CR，113CR，故③正确；如图（3）所示，当341CQ时，截面为五边形APQMF，所以④错误；当1CQ时，截面为1APCE，可知13AC，2EP，且四边形1APCE为菱形，S四边形162APCE，故⑤正确．图（1）图（2）图（3）三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，理16，12分】已知函数4cosπsin()4·0xfxx的最小正周期为．（1）求的值；（2）讨论f(x)在区间π0,2上的单调性．解：（1）2π24cossinsincos22cos2sin2c2os224fxxxxxxxxπ2sin224x．因为fx的最小正周期为，且0，从而有2π=π2，故1．5（2）由（1）知，π2sin224fxx．若0π2x，则ππ5π2444x．当πππ2442x即π08x时，fx单调递增；当ππ5π2244x即ππ82x时，fx单调递减．综上可知，fx在区间π0,8上单调递增，在区间ππ,82上单调递减．（17）【2013年安徽，理17，12分】设函数221fxaxax，其中0a，区间|0Ixfx．（1）求I的长度(注：区间()，的长度定义为；（2）给定常数0,1k，当11kak时，求I长度的最小值．解：（1）因为方程22100axaxa有两个实根10x，221axa，故0fx的解集为12|xxxx．因此区间20,1aIa，I的长度为21aa．（2）设21daaa，则22211aaad．令0da，得1a．01k，故当1