1集合论与实分析基础(数理经济学讲义-西安交大寿纪麟)

1第章集合论与实分析基础经济学,简单的讲,集合是具有某种确定性的事物的全体。21.1{xy1}12例(x,y)|＋＝表示以原点为中心，半径为的圆周上点的全体。1.2例{x|u(x）=}表示消费者的效用值为的商品组合2121213(y)=,xR|yAxx}－1＋例.{(x）的全体,即为一条效用值为的无差别曲线。1.1集合的定义集合已被广泛应用在现代数学的各个方面，尤其是应用在1.4C[a,b]{f(x)|f(x)[a,b]}例为上的连续函数AB{x|xA,xB}并：＝或AB{x|xA,xB}交：＝且AB{x|xA,xB}差：\＝但cA{x|xA}余：＝集合的运算规则：ABBAABBA;交换律：＝，＝ABCABCABCAC结合律：（）＝（）,（）＝（B）;ABCACBCABCACBC分配律：(）＝（）（）,（）＝（）（）;ABABBABA,A,A\BAA;吸收律；若，则＝；＝＝，＝1.2集合及其运算1.5ABCACBC例求证（）＝（）（）。xABCxABxC证（），则且，xAxBxC从而，或，且，xAxCxBxC这就是说，，且，或，且，xACBC即（）（），ABCACBC所以（）（）（）。xACBC另一方面，（）（），xACxBC则，或。xCxAxBxABC从而,且或，即（），ACBCABC（）（）（）。ACBCABC因此（）（）＝（）。DeMorgen－原理的证明。(1)x(AxAxAC)，CCCxAxA,(AAC，)CCxAxAxA另一方面，，，CxAx(A,A(ACC))C(AAC)＝CABAB;转换律:\＝DeMorgen对偶原理；（－原理）CC(1)(AA(2)(AACC)＝,)＝。212（）由（）可以证（）。CCC(A(A)A,C因为)＝＝CAAC所以＝()。1.82例[0,]可以被区间族：CCCAABAA\BAA证\（\）＝（）＝（Ｂ）CCAABAAAB＝（）＝（）（）ABAB＝（）＝实分析基础有理数是指一切形如p/q的数，其中p,q0均为整数，Q=x|x=p/q,p,q为整数，q01.1命题有理数集是稠密的。xyQxy,xyzQ,zxy即对、，，必使（、）。1.2命题有理数集对四则运算法则是封闭的。但是有理数对极限运算不是封闭的，换句话说有理数集是不完备的。1.3实数集(R)的完备性定义若满足下列条件：(Q)有理数集1122nn(1)a,ba,b...a,b...nnnnn(2)a,bba0闭区间的长度数列，－则称这个闭区间列为一个闭区间套。1.1ntor定理Co闭区间套定理。（当作公理承认）nna,b设为任意一个闭区间套，则必存在唯一的实数，nnnnn1a,bn=12...,m,...a,b使，，，，即，且nnlima=limb1.2zanoWeierstrass)定理（Bol定理任何有界数列必有收敛子列。nnxa,b,axb证设为有界数列，则存在上下界即。11a,ba,b,两等分，其中至少有一个分区间，记为nx含有中无穷多个点。1122a,ba,b,两等分，其中至少有一个分区间,记为n2211xa,ba,b含有中无穷多个点，且；nna,bn=12...以此类推，可得到一个闭区间列，，，nnna,bx,其中每一个都包含了无穷多个且nnn1n12211...a,ba,b...a,ba,b--nna,b由此构造可知为一个闭区间套。nnnn1.1limalimb由定理，必存在且＝＝nna,bi由于每一个中含有无穷多个x，所以先取12n11n2221xa,bxa,bnn,，再取，且nkkk1kxa,bnn,k如此继续下去，可取出使，且aa1b1a2b2bCauchy则称该数列为基本数列或数列。1.3定理（完备性定理）nxn=1数列收敛的充要条件是它为基本数列。nn=1xxan证（）设为收敛数列。令，则0NmnN，，当，时，有nmxa/2,xa/2kkaxb,k=1,2,3,......kn所以nnnnnnnlim(ba)0,limalimb-＝＝kknnnkxxlimx因为{}为{}的子列，故＝。nxmnn=1定义设为一个数列，若当，时,nmnmxx0,0N,mnN|xx|有-即，当，时,有-NA=maxxxx,112+1令,,...,nnA1xAx因此，为的上界，-（＋1）为的下界。nxA+1,n即nnn1.2xxxk由定理在中必存在子列{}{}，使knxaknnlimx现在来证明＝anmnmnmxxxaax|xa|+|xa|－nxCauchy即为数列。nnxCauchyx（）设为列，首先我们来证为有界数列。11nm1NmnN|xx|1事实上，取＝，，当，时，，11nmmN1,nN,|xx|1取＝＋当时kn0,K,kKxa/2事实上，当时，有。n11xCauchyNkN由设为数列，故,当时，k1nkN因而时，故有kkn|xx|/21NmaxK,NkN当时，则当时，kkkn|xa|xxxa/2/2kn1.4定理（单调收敛定理）单调有界数列必收敛。nx证不妨设为单调增上有界数列，nxN0反证法若不收敛，则必存在，使对任意得正整数，nmmnN|xx|0必有，，使，所以111nmNmn1,|xx|10当＝1时，必有时使，2221nmNm+1mnm1x20当＝时，必有，使x，.......如此继续下去，可得到12knmnm...nm...12kkknm|xx|,k=1,2,...0使mnmn0xxxxxkkkkn因为{}单调增，所以|-|=-mn0m0n0n0xxxx2......xkkkk-1k-11mlimx,kk故nx1.4这与{}为有界数列得假设矛盾，定理得证。AMA定义:设为一个数集，若为的一个上界，且对0,AxxMMA任意必存在中的，使-,则称为的上确界，MsupA记为＝xxm,mminfA的，使则称为A的下确界，记为＝。通俗的说，数集A的上确界是A的最小上界；MsupAMAA注意：设＝，则可能属于；也可能不属于。AabMsupAbA例如设=[,],则==；A[a,b),MsupAbA若设＝则==。()m+mxm=infAA数集A的下确界是A的最大下界。AMMA?思考题：若的上确界，问是否一定属于m0A同理，若为A的一个下界，若对任意，必存在中()M－MM=supAAx1.5定理（确界存在定理）上有界的数集必有上确界；下有界的数集必有下确界。0r证设A为有上界的数集，取最小的整数上界为2将每个单位区间二等分，在以为分母的有理数中取221r22最小的上界为；再将每个单位区间等分，在以为分母22r2的有理数中取最小的上界为，在以为分母的有理数中2r取最小的上界为；......nr的有理数中取最小的上界为，显然，01nrr......r......nn22以此类推，再将每个单位区间等分，在以为分母nr1.4xn{}为单调降的有界数列，由定理，数列{}收敛，nnlimxM,MA设现来验证即为的上确界。n(1)MAr显然是的一个上界.(因为都是A的上界）；(2)0xAxM-，必存在，使。M,MA反证法，若不然，在（）中不存在中的数，2n2r但由有理数的稠密性，必存在以为分母的有理数’，nnrrM’nrM这与的关系相矛盾，定理得证。ab|I定义设，为闭区间，＝为一个开区间族，I其中都是开区间，指标集可以是有限的，也可以是无限集。nrMMA使’（－，），且也是的上界，证令Ax*|x*a,b,ax*＝且，能被中有限个开区间覆盖aAA则，。A1.5A另一方面是一个有界集，由定理，有上确界，abx若，中每一点，必含于开区间族的某一区间abab中，则称区间，被所覆盖，或覆盖了区间，。1.6HeineBorel定理（－有限覆盖定理）ab|I若闭区间，被一个开区间族＝覆盖，则必能从中选出有限个开区间族：BabBab使覆盖，,称为的对，有限子覆盖。iiB|i12...,n＝＝，，，csupAcbcab令=，显然，从而，，c设中取一个开区间含有，令此开区间为（，），c则x*A,x*c于是由上确界的定义知，使。cA从而。cb最后要证明＝。cb,Ax*A反证法，若，则在（）中还必存在中的，cAcb这与是的上确界相矛盾。故＝。HeineBorel1.1利用－定理可以证明定理。1.1ontor定理（C闭区间套定理）nn证设a,b为任一闭区间套，要证明至少存在nnnnn1n1a,ba,b＝＝一个，即。nnnnn1a,ba,b＝反证法若＝，不妨设所有的＝nnn1,a,b＝由对偶原理的余集为nnnnn1n=1a,ba,bRa,bcc＝＝＝nnnna,b,abc其中＝（-）（,+）是两个开区间之并abiicnn由有限覆盖定理，必存在有限个,,使mci=1aba,biinn,iii0mnnni=1,a,a,a而有限个（-）的并：（-）＝（-）iii0mnnni=1bbb有限个（,+）的并：（,+）＝（,+）ii00nn,aba,b而（-）（,+）是不可能覆盖的。iiii0000nnnna,ba,b,a,b因为（）（）中的点是不能所覆盖的nnnnlimalimb由已知条件知＝12nnn=1a,b，使最后我们要证明，是唯一的。nnn=1a,b121212若有两个，，使，，不妨设，nnabn=12......)12则,（，，思考题：a,b有限覆盖定理中，为闭区间，若把它改为开区间a,b,定理1是否必成立?1.71例(0，]能被开区间：nn13131313...,...22448822(，),(，),(，)，(，),所覆盖，1但却不能从中选出有限个来覆盖(0，]。1.82例[0,]可以被区间族：11223n1n...,222334nn1[0,),[，),[，),[，)及[1,]所覆盖，2也不能从中选出有限个来覆盖[0,]。开集、闭集及其性质aa,定义设E为R上任意点集，为直线上一点，若，,aaa则称为的一个邻域；若E，存在的一个邻域Ea，，则称为E中的一个内点。a若E,a都是E的内点，则称E为一个开集。1.7定理R上的开集全体满足下列性质：(1)空集与直线R都是开集；（2）任意个开集之并是开集;（3）有限个开集之交是开集。1.4实直线上的点集与连续函数1证（）显然;IG|IGG（2）设为一族开集，令＝，0G=GG,xGI,若，则为空集；若，Gx2所以x也为的内点，由的任意性,（）得证。00xGx,GG使，的一个邻域，niGG,...,GRGG12ni＝1（3）设,为上的几个开