利润最大化

1第7章利润最大化上一章我们从成本最小化的角度考虑了企业的最优选择行为，本章我们将从利润最大化的角度考察企业的最优选择行为。通过本章的学习，你可以了解：©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU1/202009-10-5利润最大化的条件；利润函数及其性质；产品供给与要素需求的性质；长期与短期利润函数。7.1利润最大化条件„假设产品价格为p，产量为y=f(x)，投入要素为x(x是列向量)，要素价格为w(行向量)，利润(π)最大化可以表述为：©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU2/202009-10-5maxπ=py-wx（7.1）s.t.x≥0y=f(x)7.1.1内点解„在不考虑角点解的特殊情况（即是说在最优点处每个严格不等式xi0都成立），这样问题(7.1)变为：Maxπ=py-wx其中生产技术为：y=f(x)(7.2)©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU3/202009-10-5x0„将y=f(x)带入目标函数，问题（7.2）等价于：一阶条件：二阶条件：生产函数的海赛矩阵是半负定的，即：073xpfxwxmax()(.)=−π0174iifxpwinx(),,(.)∂⋅−==∂L11121nnnffHff⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLLLL12300010,,,,()nnHHHH≤≥≤−≥L2利润最大化的一阶和二阶条件„一阶条件揭示了利润最大化企业的要素配置原则：每一要素的边际产出价值都应等于它的价格，即：„将一阶条件n个等式的两端两两相除，得到：考虑一种投入要素的生产技术f()，技术可()()iijjfxxwfxxw∂∂=∂∂[]()iipfxxw⋅∂=yy*π*π’A©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU4/202009-10-5„考虑一种投入要素的生产技术y=f(x)，技术可行集如右图(a)中的阴影部分。设等利润方程：π0=py-wx，或:y=(w/p)x+π0/p，等利润曲线的斜率为w/p。„企业目标就是要在技术可行集内找到一点达到最高的等利润线，显然这个最优生产点必是等利润曲线必然与总产量曲线y=f(x)相切点，如由图中的A点，在A点，两者斜率相等，即：„二阶条件的作用右图（b）所示。y≤f(x)x*xx*xy*'xy=f(x)π*π’yB/()/wpfxxMP=∂∂=7.1.2角点解„回到利润最大化问题（7.1），该问题可能是一个角点解，即某些投入要素水平为0，当出现这中情况，需要利用库恩-塔克定理来解最优解。根据库恩塔克定理，问题的一阶条件为：©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU5/202009-10-5„根据库恩塔克定理，问题(7.1)的一阶条件为：„这意味着：如果则：如果则：000,iiiixxxxππ⎛⎞∂∂≤≥=⎜⎟∂∂⎝⎠和[]000()()iiiiiipfxwxxpfxw−≤≥−=和0*ix0(*)iipfxw−=0*ix=0(*)iipfxw−≤如果企业放弃某要素不用，其原因必是这种要素的边际产出价值低于它的价格7.2利润函数及其性质„条件要素需求与要素需求„利润函数的定义©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU6/202009-10-5„利润函数的性质37.2.1条件要素需求与要素需求„成本最小化问题的解为条件要素需求函数，它是生产者在产量既定的情况下对要素的需求，尽管按照这种需求所确定的要素投入达到了成本极小化，但没有考虑生产者究竟应该把产出和投入确*(,)xxwy=©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU7/202009-10-5定在什么水平上，才能实现利润极大化的问题。而根据利润最大化问题（7.1）得到的最优解x*=x(p,w)则为完整意义上的要素需求函数，因为它是企业利润最大化时的要素需求，相应地根据x*=x(p,w)我们还可以知道企业会把产品供给确定在y*=f[x*(p,w)]水平上。7.2.2利润函数的定义„利润函数被定义为：0,(,).xypwmaxpywxπ≥=−©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU8/202009-10-5x为利润最大化时的要素需求0,max()xypfxwx≥=−7.2.3利润函数的性质„性质1（Hotelling引理）：若利润函数可微，则：…产品供给：…要素需求：(,)(,)ypwpwpπ=∂∂(,)(,)iixpwpwwπ=−∂∂©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU9/202009-10-5„性质2：关于p递增;„性质3：关于w递减„性质4：关于(p,w)是一次齐次的„性质5：关于(p,w)是凸的(,)(,)iipp4证明性质1：„由利润函数的定义：00xyxypwmaxpywxpfxwx,,(,)[.]max[()]≥≥=−=−πnniiiiiiniiiixxfxfxpwpxppxfxfxpwfxpx111()()()()()π===∂∂∂∂=+−∂∂∂∂⎡⎤∂∂=+−=⎢⎥∂∂⎣⎦∑∑∑或：©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU10/202009-10-5[](,)(,)()((,))(,)xxpwpwpfxwxfxpwypwppπ=∂∂=−==∂∂[](,)(,)()(,)xxpwipwpfxwxxpπ=∂∂=−=−∂∂