利润最大化与二次函数

利润最大化与二次函数二次函数在市场经济的今天，用途特别广泛。利润最大问题，就是一个典型。下面就举例说明。1、住宿问题某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？（2008年贵阳市）分析：因为，每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，现在增加x元，折合10x个10元，所以，有10x个房间空闲；空房间数+入住房间数=60，这样第一问就解决了；房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量，这样第二问的等量关系也找到了；在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。解：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式是：y=60-10x，（2）宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式是：z=（200+x）（60-10x），（3）宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式是：W=（200+x）（60-10x）-20（60-10x），整理，得：W=-2101x+42x+10800=-101（x2-420x）+10800=-101（x-210）2+15210，因为，a=-101＜0，所以，函数有最大值，并且，当x=210时，函数W有最大值，最大值为15210，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，最大值是15210元。2、投资问题例2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y与投资量x成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润2y与投资量x成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润1y与2y关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（2008年•南宁市）分析：根据图像和题意知道y1是x的正比例函数，并且知道图像上的一个点的坐标为P(1，2)，这样就可以求出正比例函数的解析式；仔细观察抛物线的特点，抛物线经过原点，顶点也在原点，因此，解析式一定是形如y=ax2的形式。解：（1）因为，y1是x的正比例函数，设，y1=kx，因为，图像经过点P(1，2)，所以，2=k，所以，利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x，x＞0；因为，y2是x的二次函数，设，y2==ax2，因为，图像经过点Q(2，2)，所以，2=4a，所以，a=21，所以，利润y2关于投资量x的函数关系式是y2=21x2，x＞0；（2）这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，其中投资花卉x万元，他获得的利润是：y=y1+y2=21x2+2×（8-x）=21x2-2x+16=21（x-2）2+14，因为，a=21＞0，所以，函数有最小值，并且，当x=2万元时，函数y有最小值，最小值为14万元；因为，对称轴是x=2，当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，所以，当x=0时，y有最大值，且为y=21（x-2）2+14=16，当2＜x≤8时，y随x的增大而增大，当x=8时，y有最大值，且为y=21（x-2）2+14=32，所以，当x=8万元时，获得的利润最大，并且为32万元。因此，这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得14万元利润；他能获取的最大利润是32万元。3、存放问题例3、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）（08凉山州）分析：因为，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元，所以，x天就应该上涨x×1=x元；市场价格30元+上涨价=x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，这样第一问就解决了；销售总额为P元应该等于野生菌的价格乘以数量，这样第二问的等量关系也找到了；在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=销售总额-损坏的野生菌的费用。解：（1）由题意得y与x之间的函数关系式是：30yx（1160x≤≤，且x整数）；（2）由题意得P与x之间的函数关系式是：2(30)(10003)391030000Pxxxx；（3）由题意得：2(391030000)301000310Wxxx23(100)30000x因为，a=-3＜0，所以，函数有最大值，并且，当x=100时，函数W有最大值，最大值为30000，所以，当100时，30000W最大，因为，100天＜160天，所以，存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．4、定价问题例4、为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?（2008恩施自治州）分析：利润=价格×销售数量，这是问题解答的关键。解:⑴y＝(x－20)∙w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2x2＋120x－1600，所以，y与x的函数关系式为：y＝－2x2＋120x－1600．⑵因为，y＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200，因为，a=-2＜0，所以，函数有最大值，并且，当x=30时，函数y有最大值，最大值为200，所以，当x＝30时，y有最大值200．因此，当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元.⑶当y＝150时，可得方程－2(x－30)2＋200＝150．解这个方程，得x1＝25，x2＝35．根据题意，x2＝35不合题意,应舍去．所以，当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．5、补贴问题例5、某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．图1x/元50（第25题）1200800y/亩O图2x/元10030002700z/元O（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．（2008年泰安市）分析：惠农政策是国家的基本政策，能进入中考，是对国家政策的正面宣传。解：1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为30008002400000（元）；（2）由题意可设y与x的函数关系为800ykx将(501200)，代入上式得120050800k，得8k所以种植亩数与政府补贴的函数关系为8800yx，同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为33000zx，（3）由题意，得：(8800)(33000)uyzxx224216002400000xx224(450)7260000x，所以，当450x，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大为7260000元．