第七章要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数

第七章要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函§1.要素需求函数§2.短期成本函数和长期成本函数§3.学习曲线与成本次可加性§4.利润函数与供给函数本章要点§1.要素需求函数一、要素需求函数的推导121122(,)pqCpfxxrxrxb121122(,),qfxxCrxrxb令11221211220,0,pfrpfrxxpfrpfr即说明，利润最大化的条件为要素的使用要达到其边际产量的价值=要素价格。由上述条件可导出要素的需求函数：11112222(,,),(,,)xxrxpxxrxp例：1212,0,0,1,0,0.qAxxxx求关于x1和x2需求函数：111211212212122:pfpAxxrpfpAxxrrxxrx解把代入第1个式了,有:111112111121rpAxxrrprrx1,r令则1111121211221212()(,,)()(,,)rrrrrrxpArrprrxpArrprr同理,用成本最小化求要素需求函数11221212min{}..(,)0,0xrxrstfxxqxx拉氏函数为：12112212111222(,)[(,)00LxxrxrxqfxxLrfxLrfx121122(,)Lqfxxrfrf从可解出要素的需求函数注意：在第1种方法中，一般要求生产函数是规模报酬递减的。由成本最小化导出要素的需求函数的方法更具有一般性。二、要素价格变化对要素需求量的影响定义：12(,)fxx严格为凹,如果11221112211221222210,00fffffffff当生产函数严格为凹时，利润极大化问题有解。112200pfrpfr求上式关于x1、x2、r1、r2和p的全微分，可得：1111221121122222111122112112222200pfdxpfdxfdpdrpfdxpfdxfdpdrpfdxpfdxfdpdrpfdxpfdxfdpdr后两式可写作：11121112122222pfpfdxfdpdrpfpfdxfdpdr用克莱姆法则解dx1和dx2,21122120,:Dfff可得11122221222211221222211[()()]1[()]dxfdpdrpffdpdrpfpDfdrfdrffffdppD22111122111121[()]dxfdrfdrffffdppDr1对x1的影响20,drdp令则有12211222211(),10(0,0)dxfdrpDdxfDfdrpD即r2对x1的影响10,drdp令则有1121221()0(0,0)dxfDfdrpD若可见，上式取决于f12的符号。f12是指x2增加后对x1的边际产量的作用。f1为资本的边际产出。p对x1的影响120,drdr令则有112222111222211222111(),1[]0,0,0,0,:0dxffffdppDdxffffdppDfDffdxdp即通常为正于是有§2.短期成本函数和长期成本函数一、成本函数的定义121212(,),,,0,0,:qfxxrrxx生产函数为要素价格成本函数为12112212(,,)min()..(,)Crrqrxrxstfxxq上述最小化问题的解称为条件（产出量给定时求要素需求）要素需求函数。则成本函数为：*112(,,)xrrq**1111122212(,,)(,,)(,,)Crxprxrxprxrxp二、短期成本函数成本函数可表示为：12(,,)Cqrrb若生产函数为：12(,),,qfxx若要素价格给定于是()Cqb1.平均成本（AC或ATC）与边际成本（MC）的关系()CqbATCqq()qAVCq',()bdCAFCMCqqdq在平均成本的最低点,AC=MC。''2'()()(())0()()qbqqqbqqqbqqMCAC同理可证，在AVC的最低点,AVC=MC。SMCAFCTFC短期成本曲线综合图ATC切线STCAVCOQCOCQ切线TVCEFMC先通过AVC的最低点，然后再通过MC的最低点。因为当AVC最低时，AFC还在下降，AC未达到最低。2.成本函数的二阶性质'22''2222()()0()00pqqbdpqdqddCqdqdqdCdq利润最大化的一阶条件利润最大化的二进制阶条件边际成本递增三、长期成本函数若生产函数为：12(,,)qfxxk则短期成本函数可表示为：1122()STCrxrxkp、r1和r2给定时，x1和x2是q函数。此时12(,,,)()STCqrrkkr1和r2给定时，(,)()STCqkkSTC1STC2STC3LTC140300900qbcdaC厂商打算供应140T，他会选用STC1这个规模。现假设供应的产量为300T，显然在300-650T之间的范围内，第二个规模更适用。以下依次类推。A.LTC曲线代表每一产量水平上都选取一最优的生产规模，此生产规模上对应的STC曲线与LTC曲线相切。B.LTC是STC曲线的包络线。C.LTC曲线比STC平缓。长期总成本的定义：每一产量水平上所能达到的最低总成本。(,)()(,)()(,,)0CqkkCqkkGCqk令为一隐函数,(,,)(,,)0kGCqkkGCqk对求偏导,令其等于0说明当k变化时，企业充分利用了k的潜力。即找出最佳k和q的关系。由上式解得：()Cq长期成本函数例：若一组短期成本函数由下式决定：3220.040.9(11)5(1,2,)Cqqkqkk即企业在不同阶段的短期成本函数，求长期成本函数。32232(,,)0.040.9(11)5(1,2,)01000.10.040.9511kGqCkqqkqkkGqkkqCqqq§3.学习曲线和成本次可加性一、学习曲线如果厂商的生产规模并未发生变化，而其平均生产成本却长时期地连续下降，那又该如何解释呢?由于厂商能够在生产过程中不断获取有关经验，提高生产效率，因而其平均生产成本通常会随厂商累积产出的增长而下降。形成这种现象的具体原因是存在学习效应，又称为“干中学”（learningbydoing）。1.工人对设备和生产技术有一个学习与熟悉的过程，生产实践越多，他们的经验就越丰富，技术就越熟练，完成一定生产任务所需的时间也就越短。2.厂商的产品设计、生产工艺、生产组织会在长期的生产过程中得到完善，走向成熟，这将使产品的成本降低。3.厂商的协作者(如原料供应厂家)和厂商合作的时间越长，他们对厂商的了解越全面，其提供的协作就可能越及时、有效，从而降低厂商的平均生产成本。学习曲线的形状bACaqQABC100120160100020003000O式中AC是累积产量为Q时厂商的平均生产成本，a,b乃是大于零的常数。a的经济涵义是第一单位产出的平均成本，b则反映厂商学习效应的大小：b越大，平均成本下降的速度越快(即学习曲线越陡)，学习效应越显著；反之，平均成本下降很慢，学习曲线比较平缓，学习效应不显著。若考虑两个时期1，2。其产量分别为q1,q2。第一期的成本为C1(q1),第二期的成本为C2(q2,q1)。“学习效应”是指。即第一期的产出量越多，则第二期的生产成本会降下来。0/12qC有时学习曲线也可用要素的使用量来表示：ANL例：设有一公司，在累积产量达到20时，测得总用工为200小时；在累积产量达到40时，测得总用工时为360小时，试估计学习曲线。12200/2020360/4040LALA12/,:0.92ln(0.9)0.0152ln20.0152LL可得从L1式中解出A：0.01520.015210201015.7720AA因此，学习曲线为：0.015215.77LN1.反映规模报酬递增的若干成本变化二、成本函数的次可加性与规模报酬考虑只生产一种产品，设C(q)的为企业生产q产量的（最优）总成本。假定成本函数除零点外二阶可微。'0()0()0qFCxdxqCq其他''00,(),()qFCxCxdx固定成本边际成本可变成本（1）若对所有可能的产出量q，C''(q)0，则边际成本严格递减。（2）若对所有的产出量q1和q2，0q1q2，下式成立，则平均成本严格递减。2121()()CqCqqq（3）若对所有的产出量qi，下式成立，则成本函数严格次可加（在一个有限的产量变动范围内，共同生产一组产量的总和比分别生产它们节约成本）。11()nniiiiCqCq2.两个定理【定理1】边际成本在任何地方都递减意味着平均成本也如此。'0'02:()()()()/qqCqFCxdxdCqdFdCxdxqdqqdqqdqdFFdqqq证明''''0[0,],()()()()/.qxqCqCxCqCxdxq范围内有边际成本递减，则q点的边际成本必定是范围内边际成本最小值。于是边际成本必小于平均成本。由于边际成本递减，边际成本小于平均成本，因此，严格递减的边际成本必导致递减的平均可变成本。因此，[0,]xq'0()/0()0qdCxdxqdqdCqdqq【定理2】平均成本在任何地方都递减意味着生产是次可加的。(1)iIqq设平均成本在任何地方都递减表示：111()(),()(),()()()iiiinnniiiiiiCqCqqqCqCqqqCqCqCqqqqq两边求和:由（1）式可得到：11()()()nniiiiCqCqqCqCqq边际成本在任何地方严格递减的条件最强，意味着平均成本严格递减和严格次可加，但逆命题不一定成立。§4.利润函数和供给函数max(,)0..()pyrxxystfxy利润最大化问题：**(,)(,)yyprxxpr供给函数投入品需求函数一、利润函数的定义利润函数是下列最大值函数：(,)max(,)0..()prpyrxxystfxy(,)(,)max()pryxpyrx利润函数一定是指最大利润是存在的，且它只依赖于产出价格和要素价格。利润函数只有在规模报酬递减时才存在。假设生产技术是规模报酬递增的。最大利润为（在p和r给定时）：''()pfxrx规模报酬递增意味着：''()()(1)ftxtfxt对两边乘p，同减去：'()rtx''''''''()()[()]()(,)pftxrtxtpfxrtxtpfxrxpfxrxpr''',()xyfx因此和已使利润最大化的前提相矛盾.二、利润函数的性质:,,,(0)0,0,0,(,),:nnfRRRfprpr如果生产函数在定义域上连续严格递增且严格拟凹则对连续且有（1）对于p递增；（2）对于r递减；（3）对于(p,r)是一次齐次的(k=1)；（4）对于(p,r)是凸的；（5）当(p,r)0时，(p,r)是可导的，并且有霍太林引理：(,)(,)(,)(,)(1,2,,)iipryprpprxprinr(,)(1),0pryp按包络定理（因