专题14 解直角三角形-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（解析版）

【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】专题14解直角三角形一．选择题1．（2022·广西贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45，在点B处测得树顶C的仰角为60，且A，B，D三点在同一直线上，若16mAB，则这棵树CD的高度是（）A．8(33)mB．8(33)mC．6(33)mD．6(33)m【答案】A【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16-x，在Rt△BCD中，∠B=60°，∴tanCDBBD，即：316xx，解得8(33)x，故选A．【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．2．（2022·广西贵港）如图，在44网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若ABC的顶点均是格点，则cosBAC的值是（）【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】A．55B．105C．255D．45【答案】C【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，∵每个小正方形的边长为1，∴5,10,5ACBCAB，设ADx，则5BDx，在RtACD△中，222DCACAD,在RtBCD中，222DCBCBD,∴2210(5)5xx，解得2x，∴225cos55ADBACAC，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．3．（2022·福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中90ABC，60CAB，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到ABCV，点A对应直尺的刻度为0，则四边形ACCA的面积是（）【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】A．96B．963C．192D．1603【答案】B【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形ACCA的面积为sin602sin60AAACABAA，即可求解．【详解】解：依题意ACCA为平行四边形，∵90ABC，60CAB，AB＝8，12AA．2ACAB∴平行四边形ACCA的面积=sin602sin60AAACABAA328129632故选B【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．4．（2022·广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（）A．12sin米B．12cos米C．12sin米D．12cos米【答案】A【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=BCAB，代入AB值即可求解．【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=BCAB，∴BC=sinαAB=12sinα（米），故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．5．（2022·贵州毕节）如图，某地修建一座高5mBC的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1:3，则斜坡AB【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】的长度为（）A．10mB．103mC．5mD．53m【答案】A【分析】直接利用坡度的定义得出AC的长，再利用勾股定理得出AB的长．【详解】∵1:3i，5BCm，∴513BCACAC，解得：53ACm，则222255310ABBCACm．故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键．6．（2022·黑龙江牡丹江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高()A．(600－2503)米B．(6003－250)米C．(350＋3503)米D．5003米【答案】B【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，即2221251300kk，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=3x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=3CD．∴1200+x=3（500+3x），解得x=600﹣2503．∴DF=3x=6003﹣750．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∴CD=DF+CF=6003﹣250（米）．∴山高CD为（6003﹣250）米．故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；勾股定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；待定系数法的应用．7．（2022·湖北十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（）A．cossinmB．sincosmC．costanmD．sincosmm【答案】A【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45°．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故选：A．【点睛】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．8．（2022·湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，:1:2OCBC，连接AC，过点O作OPAB∥交AC的延长线于P．若1,1P，则tanOAP的值是（）A．33B．22C．13D．3【答案】C【分析】由1,1P可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为OPAB∥，则OAB为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解．【详解】∵P点坐标为（1，1），则OP与x轴正方向的夹角为45°，又∵OPAB∥，则∠BAO=45°，OAB为等腰直角形，∴OA=OB，设OC=x，则OB=2OC=2x，则OB=OA=3x，∴tan133OCxOAPOAx．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】9．（2022·广西玉林）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是()A．BADB．ACBC．BACD．DAC【答案】D【分析】根据俯角的定义可直接得出结果．【详解】解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，∴∠DAC为对应的俯角，故选D．【点睛】题目主要考查对俯角定义的理解，深刻理解俯角的定义是解题关键．10．（2022·辽宁）如图，在矩形ABCD中，6,8ABBC，分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交,ADBC于点E，F，则AE的长为（）A．74B．94C．154D．254【答案】D【分析】根据矩形ABCD可知ADC为直角三角形，根据勾股定理可得AC的长度，在RtADC中得到cosCADADAC，又由题知MN为AC的垂直平分线，于是90MOA12AOAC，于是在RtAOE中，利用锐角三角函数即可求出AE的长．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】【详解】解：设MN与AC的交点为O，四边形ABCD为矩形，90ADC，6ABDC，8BCAD，ADC为直角三角形，6CD，8AD，22228610ACADDC，84cos105ADCADAC，又由作图知MN为AC的垂直平分线，90MOA，152AOAC，在RtAOE中，cosAOEAOAE，coscosCADEAO，545AE，254AE．故选：D．【点睛】本题主要考查矩形的性质，锐角三角函数，垂直平分线，勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键．11．（2022·福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，27ABC，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：sin270.45，cos270.89，tan270.51）【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】A．9.90cmB．11.22cmC．19.58cmD．22.44cm【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得1222DCBCcm，根据等腰三角形的性质及27ABC，可得27ACBABC，在RtADC中，由tan27ADCD，求得AD的长度．【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高，∴12DCBC，∵BC＝44cm，∴1222DCBCcm．∵等腰三角形ABC，AB＝AC，27ABC，∴27ACBABC．∵AD为BC边上的高，27ACB，∴在RtADC中，tan27ADCD，∵tan270.51，22DCcm，∴0.512211.22ADcm．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．12．（2022·湖北武汉）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（）【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】A．13B．12C．33D．32【答案】C【分析】证明四边形ADBC为菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：连接AD，如图：∵网格是有一个角60°为菱形，∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，∴AD=BD=BC=AC，∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴tan∠ABC=tan30°=33．故选：C．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，特殊角的三角函数值，证明四边形ADBC为菱形是解题的关键．二．填空题13．（2022·黑龙江绥化）定义一种运算；sin()sincoscossin，sin()sincoscossin．例如：当45，30时，sin453023216222224，则sin15的值为_______．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】【答案】624【分析】根据sin()sincoscossin代入进行计算即可．【详解】解：sin15sin(4530)=sin45cos30cos45sin30=23212222=6244=624．故答案为：624．【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．14．（2022·湖南）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tanADF__．【答案】34##0.75【分析】根据两个正方形的面积可得10AD，2DFAF，设AFx，得到2DFx，由勾