专题15 解直角三角形-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（全国通用）（解析版）

1/69专题15.解直角三角形一、单选题1．（2021·浙江温州市·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若1ABBC．AOB，则2OC的值为（）A．211sinB．2sin1C．211cosD．2cos1【答案】A【分析】根据勾股定理和三角函数求解．【详解】∵在RtOABV中，AOB，1AB∴1=sinsinABOB在RtOBC中，1BC，2222221111sinsinOCOBBC故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么222abc．2．（2021·浙江金华市·中考真题）如图是一架人字梯，已知2ABAC米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（）A．4cos米B．4sin米C．4tan米D．4cos米【答案】A2/69【分析】根据等腰三角形的性质得到12BDDCBC，根据余弦的定义即可，得到答案．【详解】过点A作ADBC，如图所示：∵ABAC，ADBC，∴BDDC，∵DCcoAC，∴cos2cosDCAC，∴24cosBCDC，故选：A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知3sincos5，则梯子顶端上升了（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米【答案】C【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD=CEsinβ与AD=ABsinα，两线段作差即可．【详解】解：如图所示标记字母，根据题意得AB=CE=10米，∵sinβ22341-cos155，在Rt△ECD中，sin4105CDCDCE，∴CD=410=85，在Rt△ABD中，sin3=105ADADAB，∴310=65AD，∴AC=CD-AD=8-6=2．故选择C．3/69【点睛】本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键．4．（2021·湖南株洲市·中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面1l于点A，BE与水平线2l的夹角为090，12////EFll，若1.4AB米，2BE米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．①当90时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当45时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当60时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【分析】①,,ABE三点共线，直接计算可得；②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出h；③方法同②．【详解】如图过E点作EMAB交AB的延长线于点M，12////EFllMEB则sinhAMABBE①当90时,,,ABE三点共线，1.423.43.3hAEABBEh小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确．4/69②当45时，2sin1.421.41.412.812.92hABBEh等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确．③当60时，3sin1.421.41.733.133.12hABBEh等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误．综上所述：说法正确的为：①②，共2个．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键．5．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75）（）．A．7.5米B．8米C．9米D．10米【答案】D【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得：sin370.6BCAB∵6BC米∴6100.60.6BCAB米故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．6．（2021·天津中考真题）tan30的值等于（）5/69A．33B．22C．1D．2【答案】A【分析】根据30°的正切值直接求解即可．【详解】解：由题意可知，3tan303，故选：A．【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．7．（2021·重庆中考真题）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为1:2.4i，坡顶D到BC的垂直距离50DE米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin500.77；cos500.64；tan501.19）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米【答案】D【分析】作DF⊥AB于F点，得到四边形DEBF为矩形，首先根据坡度的定义以及DE的长度，求出CE，BE的长度，从而得到DF=BE，再在Rt△ADF中利用三角函数求解即可得出结论．【详解】如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，∴50DEBF,∵斜坡CD的坡度（或坡比）为1:2.4i，∴在Rt△CED中，15tan2.412DECCE，∵50DE，∴120CE，∴15012030BEBCCE，∴30DF，在Rt△ADF中，∠ADF=50°，∴tantan501.19AFADFDF，将30DF代入解得：35.7AF，∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，故选：D．6/69【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．8．（2021·云南中考真题）在ABC中，90ABC，若sn3100,5iAAC，则AB的长是（）A．5003B．5035C．60D．80【答案】D【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=35，AC=100，∴BC=100×3÷5=60，∴AB=22ACBC=80，故选D．【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．9．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度1:2.4i．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（）（参考数据：31.732）A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米【答案】A【分析】作DF⊥AB于F点，EG⊥BC于G点，根据坡度求出DF=50，AF=120，从而分别在△BEG和△CEG中求解即可．【详解】如图，作DF⊥AB于F点，EG⊥BC于G点，则四边形DFBG为矩形，DF=BG，∵斜坡AD的坡度1:2.4i，∴15tan2.412DFDAFAF，∵AD=130，∴DF=50，AF=120，∴BG=DF=50，由题意，∠CEG=60°，∠BEG=45°，∴△BEG为等腰直角三角形，BG=EG=50，在Rt△CEG中，CG=3EG=503，7/69∴65053136.0BCBGCG米，故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键．10．（2021·重庆中考真题）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若58NDDE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（）（参考数据：21.41,31.73）A．9.0mB．12.8mC．13.1mD．22.7m【答案】C【分析】分别解直角三角形RtDEF△和RtMBC，求出NE和MB的长度，作差即可．【详解】解：∵50FEm，DF的坡度i=1：1.25，∴:1:1.25DEEF，解得40mDE，∴5258NDDEm，∴65NENDDEm，∵60MCB，30mBC，∴tan60303MBBCm，∴顶端M与顶端N的高度差为6530313.1NEMBm，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．11．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结8/69论：2sinAsinBsinCacbR（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（）A．163B．643C．16D．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理，2sincRC,利用圆的面积公式S圆=163．方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=30°，由垂径定理可求AD=BD=2，利用三角函数可求OA=433，利用圆的面积公式S圆=163．【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，有题意可知44832=sinsin60332cRC，∴433R，∴S圆=222431633ROA．方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=1180120302，∵OD⊥AB，AB为弦，∴AD=BD=122AB，∴AD=OAcos30°，∴OA=343cos30223AD，∴S圆=222431633ROA．故答案为A．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．9/6912．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB=BCAB=（）A．35B．45C．74D．34【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，∴2222437BCABAC，∴74BCcosBAB．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键．13．（20