专题22 与三角形相关的压轴题-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（全国通用）（解析版）

1/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司专题22与三角形相关的压轴题一、选填题1．（2021·山东淄博市·中考真题）如图，在RtABC中，90ACBCE,是斜边AB上的中线，过点E作EFAB交AC于点F．若4,BCAEF△的面积为5，2/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司则sinCEF的值为（）A．35B．55C．45D．255【答案】A3/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意易得AEFACB∽，设CEBEAEx，则有2ABx，则有2416ACx，10EFx，然后可得2441610xxx，过点C作CH⊥AB于点H，进而根据三角函数及勾股定理可求解问题．【详解】解：∵EFAB，90ACB，4/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∴90AEFACB，∴AEFACB∽，∵CE是斜边AB上的中线，∴12CEBEAEAB，设CEBEAEx，则有2ABx，5/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∵4BC，∴由勾股定理可得222416ACABBCx，∵AEF的面积为5，∴10EFx，∵AEFACB∽，∴BCACEFAE，即2441610xxx，6/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司化简得：42251000xx，解得：25x或220x，当25x时，则AC=2，与题意矛盾，舍去；∴当220x时，即25x，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：7/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∴45,8ABAC，25CE，//EFCH，∴CEFECH，25sin5ACBAB，8/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∴85sin5CHBCB，∴22655HECECH，∴3sinsin5HECEFECHCE；故选A．【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形9/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司的性质与判定及勾股定理是解题的关键．2．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，RtABC中，90ACB，23AC，3BC．点P为ABC内一点，且满足22PAPC2AC．当PB的长度最小时，ACP的面积是（）10/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司A．3B．33C．334D．332【答案】D【分析】由题意知90APC，又AC长度一定，则点P的运动轨迹是以AC11/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司中点O为圆心，12AC长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在RtBCO中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到PCO是等边三角形，利用特殊RtAPC三边关系即可求解．【详解】解：222PAPCAC90APC12/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司取AC中点O，并以O为圆心，12AC长为半径画圆由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短AOPOCO11233,322COACBC13/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2223BOBCCO3BPBOPO点P是BO的中点在RtBCO中，132CPBOPOPCO是等边三角形60ACP14/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司在RtAPC中，tan603APCP13333222APCSAPCP．【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，15/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．3．（2021·辽宁中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足120APBBPCCPA．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若7,23ABACBC，P为ABC的费马点，则PAPBPC_________；若23,2,4ABBCAC，P为ABC的费马点，则PAPBPC_________．16/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【答案】527【分析】①作出图形，过,BC分别作30DBPDCP,勾股定理解直角三角形即可②作出图形，将APC△绕点A逆时针旋转60，P为17/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司ABC的费马点则,,,BPPC四点共线，即PAPBPCBC，再用勾股定理求得即可【详解】①如图,过A作ADBC，垂足为D,过,BC分别作30DBPDCP,则PBPC,P为ABC的费马点18/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司7,23ABACBC132BDDCBC3tan303PDBD1PD2sin30PDPB19/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司22732ADABBDPAPBPC5②如图：20/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司23,2,4ABBCAC.22216,16ABBCBC222ABBCAC90ABC1sinsin302BCBACAC30BAC21/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司将APC△绕点A逆时针旋转60由旋转可得：APCAPC△≌△,,APAPPCPCACAC60CACPAP22/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司APP是等边三角形，90BACP为ABC的费马点即,,,BPPC四点共线时候，PAPBPCBCPAPBPCBPPPPC=BC22ABAC23/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司22(23)427故答案为：①5，②27【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转,PABPBC△△也可，但必须绕顶点旋转．4．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，45BOD，BODO，点A在OB上，四边形ABCD是矩24/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OEBD；②30ADB；③2DFAF；④若点G是线段OF的中点，则AEG△为等腰直角三角形，其中，判断正确的是______．（填序号）25/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【答案】①③④【分析】先根据矩形的性质可得BEDE，再根据等腰三角形的三线合一可判断①；先根据等腰三角形的性质可得67.5ODBOBD，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得45ODA，然后根据角的和差即可判断②；先证出AOFADB，从而可得AFAB，再设2(0)OAADaa，从而可得(222),(422)AFaDFa，由此即可判断③；先证出AOGADE，从而可得,AGAEOAGDAE，再根据等腰三角形的定义可得AEG△为等腰三角形，然后根据角的和差可得90EAG，由此即可得判断④．26/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【详解】解：四边形ABCD是矩形，1,2ADABBEDEBD，BODO∵，OEBD（等腰三角形的三线合一），则①正确；27/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司,45BODOBOD，1(180)67.52ODBOBDBOD，又ADAB，RtODA是等腰直角三角形，45,ODAOAAD，28/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司67.54522.5ADBODBODA，则②错误；,BODOBEDE，122.52AOFBODADB（等腰三角形的三线合一），在AOF和ADB△中，90AOFADBOADAOAFDAB，29/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司()AOFADBASA，AFAB，设2(0)OAADaa，2222OBODOAADa，222(222)AFABOBOAaaa，30/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2(222)(422)DFADAFaaa，(422)2(222)DFaAFa，2DFAF，则③正确；AOFADB，OFBD，31/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司点G是线段OF的中点，1122OGOFBDDE，在AOG和ADE中，OADAAOGADEOGDE，()AOGADESAS，,AGAEOAGDAE，AEG为等腰三角形，32/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司90OAGDAGOAD，90DAEDAG，即90EAG，AEG为等腰直角三角形，则④正确；综上，判断正确的是①③④，故答案为：①③④．33/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是④，正确找出两个全等三角形是解题关键．5．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知菱形ABCD的面积为23﹐点E是一边BC上的中点，点P34/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司是对角线BD上的动点．连接AE，若AE平分BAC，则线段PE与PC的和的最小值为__________，最大值为__________．【答案】327【分析】先作出图形，根据E是BC的中点，AE平分BAC35/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司可知ACAB，根据将军饮马知识即可求出最小值，当P与点D重合时求出最大值．【详解】如图，连接PC，E是BC的中点，AE平分BAC,BEECCAEBAE设点E到AB、AC的距离为,ab,点A到BC的距离为c36/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司AE平分BACab（角平分线上的点到角的两边的距离相等）,AECAECSABaBEcSACbECc△△,ABcACcBEaECb37/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司,abBECEABACABC是等腰三角形E是BC的中点,AE平分BACAEBC（三线合一）又四边形ABCD是菱形ABBCABC是等边三角形38/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司已知菱形ABCD的面积为23设菱形的边长为a(0)a则223()22aAEaaSBCAE323=2aa解得：2a3AE39/679学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司AC、关于BD对称PE+PCPEPAAE3则PE+PC最小值为：3当点P与点D重合时PE+PC最大过E作EHBD垂4