专题26 旋转变换（含中心对称）问题（解析板）

一、选择题1.（黔东南）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=3，∠B=60°，则CD的长为【】A．0.4B．1.5C．2D．1考点：1.旋转的性质；2.含30度直角三角形的性质；3.等边三角形的判定和性质．2.（遵义）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为【】A．22B．32C．31D．1【答案】C．【解析】∴∠ABC′=∠B′BC′.∴BD⊥AB′.∵∠C=90°，AC=BC=2，∴AB=22222.[来源:Zxxk.Com]∴BD=3232，C′D=12×2=1.∴BC′=BD﹣C′D=31．故选C．考点：1.旋转的性质；2.等边三角形的判定和性质；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理．3.孝感）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是【】A．（2，10）B．（-2，0）C．（2，10）或（-2，0）D．（10，2）或（-2，0）【答案】C．【解析】考点：1.坐标与图形的旋转变化；2.分类思想的应用．4.（金华）如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是【】A．70°B．65°C．60°D．55°【答案】B．【解析】试题分析：∵将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，∴AC=CA′，∠B′A′C=∠BAC.∴∠AA′C=45°.∵∠1=20°，∴∠B′A′C=∠BAC=25°.∴∠B=65°.故选B．考点：1.旋转的性质；2.等腰三角形的性质．二、填空题1.（梅州）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C，A’B’交AC于点D，若∠A’DC=90°，则∠A=▲°.【答案】55.【解析】试题分析：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C，∴∠ACA’=35°，∠A=∠A’，.∵∠A’DC=90°，∴∠A’=55°.∴∠A=55°.考点：1.旋转的性质；2.直角三角形两锐角的关系.2.（河南）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=600，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转300得到菱形AB'C'D'，其中点C的运动能路径为/CC，则图中阴影部分的面积为▲.∵∠AD'C'=∠D=1200,∠ACB=300，∠D'G'=900.∴13'G31,C2DG312.同理，13BG31,C'G3122.又∵∠CXC'=300,∴2CAC'CD'G3031SS2S23133313603212242阴影部分扇形考点：1.面动旋转问题；2.菱形的性质；3.扇形面积的计算；4.旋转的性质；5.含30度直角三角形的性质；6.转换思想的应用．3.（舟山）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB，CA′相交于点D，则线段BD的长为▲．三、解答题1.（玉林、防城港）（6分）如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是▲．【答案】作图见解析，90°．【解析】考点：1.作图（旋转变换）；2.线段垂直平分线的性质；3.正方形的判定和性质．2.（玉林、防城港）（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）BM=MC，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠B，然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；[来源:Zxxk.Com]（2）根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得ABAMMCMQ，再求出△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得ABAMBMMQ，从而得到ABABMCBM，即可得解．∴ABABMCBM.∴BM=MC．考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.平行四边形的判定和性质；4.相似三角形的判定和性质.3.（毕节）（10分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析.【解析】试题分析：（1）根据网格结构找出点B、C的对应点B1、C1的位置，然后与点A顺次连接即可.（2）以点B向右3个单位，向下5个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出点A、C的坐标即可.（3）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．考点：1.网格问题；2.作图（旋转变换）.4.（河北）（本小题满分11分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F.（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形.∵AB=AE，∴平行四边形ABEF是菱形．考点：1.全等三角形的判定和性质；2.菱形的判定；3.旋转的性质．5.（黄冈）（13分）如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A11B31，，，，动点P从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动．过P作PQ⊥OA于Q．设P点运动的时间为t秒（0t2），ΔOPQ与四边形OABC重叠的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示P、Q两点的坐标；（3）将ΔOPQ绕P点逆时针旋转90°，是否存在t，使得ΔOPQ的顶点O或Q落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与t的函数解析式.【答案】（1）214yxx33，42,3；（2）2t,0，t,t；（3）1t2或1；（4）22t0t13S2t11t21132t8tt222.【解析】∴c0abc19a3bc1，解得1a34b3c0.∴抛物线的解析式为214yxx33.∵221414yxxx23333，∴顶点M的坐标为42,3.[来源:学科网]（2）∵A11，，∴∠COA=900.∴△OPQ是等腰直角三角形.xx+k.Com]（3）当ΔOPQ绕P点逆时针旋转90°时，点O的坐标为O'2t,0，点Q的坐标为Q'3t,t，①若点O'在214yxx33上，则21402t2t33，解得121t0,t2.∵0t2，∴1t2.[来源:Zxxk.Com]∴当1t2时，点O'在214yxx33上.①若点Q'在214yxx33上，则214t3t3t33，解得12t0,t1.∵0t2，∴t1.∴当t1时，点Q'在214yxx33上.综上所述，当1t2或1时，ΔOPQ的顶点O或Q落在抛物线上.（4）分三种情况讨论：①当0t1时，如答图，2OPQQ11SSOPy2ttt22.②当31t2时，如答图，设PQ交AB于点E，则OPQAEQSSS.∵AB∥OC，∴∠QAE=450.∴△AEQ是等腰直角三角形.∴02OQOPcos452t2t2.∴AQOQOA2t22t1.∴22AEQ1SAQt12.∴22OPQAEQSSStt12t1.③当3t22时，如答图，设PQ交AB于点E，PQ交ABC于点F，则OPQAEQCFPSSSS.同②可得2222AEQCFP111SAQt1,SCP2t3222∴2222OPQAEQCFP111SSSStt12t32t8t22.综上所述，S与t的函数解析式为22t0t13S2t11t21132t8tt222.考点：1.二次函数综合题；2.单动点和面动旋转问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.由实际问题列函数关系式；7.分类思想和转换思想的应用.6.（武汉）如图，在直角坐标系中，A(0，4)、C(3，0)，（1）①画出线段AC关于y轴对称线段AB；②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD；（2）若直线y＝kx平分(1)中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值.【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）3k4．【解析】试题分析：（1）①根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点B的位置，然后连接AB即可.②根据轴对称的性质找出点A关于直线x=3的对称点，即为所求的点D.（2）根据平行四边形的性质，平分四边形面积的直线经过中心，然后求出AC的中点，代入直线计算即可求出k值．试题解析：（1）①如答图所示；考点：1.作图（旋转变换和轴对称变换）；2.平行四边形的性质；3.直线上点的坐标与方程的关系．7.（襄阳）（7分）如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．（1）求证：EF∥CG；（2）求点C，点A在旋转过程中形成的AC,AQ与线段CG所围成的阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）524.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根据旋转变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得△ABF和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形对应边相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根据内错角相等，两直线平行可得EC∥FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形EFGC是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行证明.（2）求出FE、BE的长，再利用勾股定理列式求出AF的长，根据平行四边形的性质可得△FEC和△CGF∴2222AFABBF215.由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，∴S△FEC=S△CGF.∴22ABFFGCBACFAG90590211521121360223602SSSSS4阴影扇形扇形-.考点：1.旋转