世代交替理论(高级宏观经济学)

第3章世代交替理论本章继续使用最优化的思想和方法来讨论经济增长问题，对索洛模型进行进一步修正。同建立拉姆齐-卡斯-库普曼模型的做法一样，我们仍然在完全竞争的条件下，从微观的角度分析宏观经济总量的运动。所不同的是，本章将放弃无限生命假设，转而假定经济中不断有新家庭出现，表现为世代交替，这正是本章标题的含义所在。在这种经济中，消费(与储蓄)由世代交替的家庭决定，是家庭的无限期决策(infinitehorizondecision)。家庭持有资本和提供劳动，然后进行消费与储蓄。企业租用家庭持有的资本，雇用家庭提供的劳动，去生产家庭消费的商品。从无限生命到世代交替，经济增长理论向现实接近一步。我们将以戴蒙德模型为典范，建立经济增长的世代交替理论。叠代模型PeterPeterPeterPeterDiamondDiamondDiamondDiamond，1965196519651965，NationalNationalNationalNationalDebtDebtDebtDebtininininaaaaNeoclassicalNeoclassicalNeoclassicalNeoclassicalGrowthGrowthGrowthGrowthModelModelModelModel，AERAERAERAER与RamseyRamseyRamseyRamsey增长模型的区别：如果我们把人的生命期看成100年的话，就可以这样来划分少年、青壮年和老年。20岁前为少年，过了20岁后到60岁前为青壮年，过了60岁以后直到100岁为老年。一个人年龄不过20岁，就不算作经济人，因为他(她)既无资本，又无向社会提供劳动的能力，他(她)正处于成长和学习阶段，靠父母抚养。所以，经济人的生命只有两个时期：青壮年时期(前40年)和老年时期(后40年)。既然经济人的生命只有两个时期，为了说起来方便起见，干脆假定人的生命只有两个时期：青壮年和老年。这就是说，我们所谈的“人”，都指经济人。另外，青壮年时期和老年时期的时间长短一样，都为40年。这样，我们就可以以40年为一期来划分时间段，无限的时间就可用⋯,3,2,1,0=t来表示。0=t表示初始时期，即刚开始的那40年。假设：生存期假设青年期老年期青年期老年期青年期老年期青年期老年期时期t青年期：工作、消费和储蓄老年期：消费和负储蓄在时期t，青年数量为tL，人口增长率为n，老年（前一时期里的青年）数量为11ttLLn−=+总人口为：tttttLnnLnLLTL++=+=+=−−12)2(11由于我们是在完全竞争的情况下讨论世代交替问题，我们可以使用相同人假定，它包括以下三层含义：(a)每一个时期t，经济中任何两个人都具有相同的偏好关系，即具有相同的效用函数；(b)每一个时期t，任何两个青壮年都相同，即拥有相同的财富，并提供相同的劳动和资本。(c)每一个时期t，任何两个老年都相同，即他们在青壮年时期积蓄下来的财富相同，拥有的资本利息也相同。使用这个假定，是为了分析上的方便。假如我们能够找出个人代表(即消费者代表)，那么就可用个人代表来分析问题，从而可不使用“相同人假定”。个人的优化行为：在时期t，青年计划自己在两个时期里的消费数量，在收入约束下最大化自己的效用。效用函数：121111,0,1111tttCCUθθθθρθρ−+−−−=+−+0101ρρρ⎧⎪−⎨⎪−⎩既然生命有限，我们就不再需要假定gn)1(ϑρ−+去保证终生效用收敛，其中g为知识增长率。但是，效用贴现率的正负具有特殊涵义。0ρ表示，老年期的一单位效用不值青壮年期的一单位效用，因而个人会给青壮年期的消费以更大的权重。相反，0ρ则表示，青壮年期的一单位效用不值老年期的一单位效用，因而个人会给老年期的消费以更大的权重。如果我们以青壮年期效用的权重为标准，即把青壮年期效用的权重视为1的话，那么终生效用表达式第二项的系数)1(1ρ+就表示老年期效用的权重。于是，条件1−ρ是说老年期效用的权重为正。显然，这个条件是符合实际事实的。假定企业的生产函数具有规模报酬不变性质。企业的生产函数),(ALKFY=。设)(kfy=是生产函数),(ALKFY=的有效人均生产函数，并假定满足伊纳达条件：⎪⎩⎪⎨⎧=′∞=′′′′=∞→→0)(lim,)(lim:0)(,0)(,0)0(:0kfkfkfkffkk件条达纳伊边际收益递减再设知识A的增长率为g，即),2,1,0()1(1⋯=+=+tAgAtt，并假定g是一个外生变量，不随时间的变化而变化。同上一章一样，本章继续假定资本的折旧率为零，既不考虑折旧。市场的完全竞争性保证了企业按照要素的边际生产率向要素支付报酬。资本的实际利率r就是资本的边际报酬：)(kfr′=；劳动者的效率工资率w，)()(kfkkfw′−=；劳动者的(效率)工资则为wAW=，这也就是一个劳动者的劳动收入。在初始时期0=t，每一位老年人都持有相同数量的资本，所有老年人持有的这些资本的总和0K，构成了经济的初始资本。假定每个人在老年时期都要将他(她)的储蓄花完。于是任何时期内，青壮年都不拥有资本，他们只是向企业提供劳动以获得收入，并把收入在当期消费与储蓄之间加以分配。设在时期t，经济中的诸企业总共雇用了tK个单位的资本和tL个单位的劳动，生产出tY个单位的总产品。则),(ttttLAKFY=，)(ttkfy=，)(ttkfr′=，tttttttkrykfkkfw−=′−=)()(，每个青壮年的劳动收入为tttwAW=。既然完全竞争，经济中的总供给就等于总需求，因而经济处于充分就业状态，劳动需求也就等于劳动供给。这样，生产tY个单位的总产品所雇用的劳动数量tL就等于全社会的劳动人口数，即等于时期的青壮年总人数。在任何时期t，每个青壮年要把他(她)本时期的劳动收入在消费与储蓄之间进行分配，并把本时期的储蓄带到下一时期1+t去消费。在时期t，每个青壮年的消费为tC,1，从而储蓄为tttCwA,1−。本时期的储蓄tttCwA,1−将成为该青壮年在下一时期1+t的资本，于是经济在时期1+t的资本总额1+tK就等于时期t的所有青壮年的储蓄之总和，即等于时期t的单个青壮年的储蓄tttCwA,1−乘以时期t的青壮年人数tL：)(,11tttttCwALK−=+，这个tL也就是经济在时期t的劳动雇用量(即就业量)。在时期t，企业雇用青壮年劳动力Lt和租用老年人持有的资本tK，生产出tY个单位的总产品，于是),(ttttLAKFY=。经济进入下一时期t+1后，前一时期的生产运作模式依然继续，但前一时期向社会生产提供劳动的青壮年已经变成只会提供资本的老年人，前一时期的老年人已经不在人世，而劳动的提供要靠新生的一代，所以),(1111++++=ttttLAKFY。生产就是这样一代又一代地进行下去，但随着世代的交替，人口在以速度n增长，知识在以速度g增长，于是总产出的增长情况就主要取决于资本的增长速度。但资本是通过储蓄而形成的，储蓄的多少取决于消费和收入，从而取决于消费者的行为和决策。可见，消费者的行为表现对经济增长具有至关重要的影响和作用。个人决策：12111211mx11a1,1tttttUCCCCθθρθθ−++−=+−−+..st：211111tttttCwArC++=++构造拉格朗日函数，并根据一阶条件可以得到最优化条件。11121121111[()]1111tttttttCCLAwCCrθθλθρθ−−+++=++−+−+−+一阶条件：121111211121111111111tttttttttttCCrCCwACrCrθθθλλρρ−−++++++⎛⎞+=⎜⎟+⎝⎫=⎪⎬=⎪++⎭=+⎠+解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++++=−+++−+tttttttttwArrCwArCϑϑϑϑϑϑϑϑρρρ)1(11111,2)1(111,1)1()1()1()1()1()1(储蓄＝收入－消费()()()()()11111111ttttrsaveAwrθθθθθρ−+−++=+++储蓄率：()()()()()()1111111,,11tttrsrrθθθθθρθρ−++−++=+++消费：()()111,,ttttCAsrwρθ+−=由于消费贴现率ρ是既定的外生因素，而资本的实际利率1+tr是由经济系统本身决定的，是内生变量，因此上面的式子表明：边际消费倾向和储蓄率都由实际利率r决定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++==++++==−−−ϑϑϑϑϑϑϑϑϑρρρ)1(1)1()1(11)1()1()1()()1()1()1()(rrrssrrcc经济学含义：(1)当1ϑ时，即当消费者的相对风险规避倾向较小时，边际消费倾向是实际利率的递减函数，储蓄率s是实际利率r的递增函数。(2)当1ϑ时，即当消费者的相对风险规避倾向较大时，边际消费倾向c是实际利率r的递增函数，储蓄率s是实际利率r的递减函数。(3)当1=ϑ时，即当消费者的相对风险规避倾向适中时，边际消费倾向c和储蓄率s都是常数，仅仅取决于效用贴现率ρ这一外部因素，而与资本的实际利率r无关。如何理解：首先，实际利率的上升意味着老年时期的收入增加，从而消费将会增加，这是收入效应。但这并不意味着消费者在做终生消费安排时，会把实际利率增加所带来的收入增加全部用于增加老年时期的消费，这里还有一个替代效应问题。消费者要把他的终生收入在青壮年时期和老年时期之间加以分配，但分配时要权衡得失，以使终生效用达到最大。如果他(她)觉得把老年时期的消费支出向青壮年时期调整一些，会感到更大的满足，那么他(她)就会做这样调整。同样，如果他(她)觉得老年时期多消费一点会更值得，那么他(她)就会把青壮年时期的消费向老年时作些调整。只有考虑了青壮年期消费与老年期消费之间的替代效应，消费者才能真正实现终生效用的最大化。其次，我们需要考虑影响消费者权衡青壮年消费和老年期消费的因素，该因素就是消费者的相对风险规避倾向。尽管我们没有考虑未来的不确定因素，但事实上未来是不确定的。资本的高利率意味着未来的风险大、不确定程度高。这种情况下，那些相对风险规避倾向较小的消费者就会认为，当时利率上升时，把收入当中用于青壮年时期消费的比例下调一些，让储蓄率上升一些，以便到老年时有机会获得更高的利息收入，从而老年期消费的效用将会增加得更多，其增加量的现值(按效用贴现率ρ贴现)将多于青壮年时期因消费比例下调而减少的效用，这样，终生消费的效用就会变得更大。相反，那些相对风险规避倾向较大的消费者则更多关注未来的不确定性和风险，他们会认为利率上升意味着未来不确定性和风险变大，只有把风险减少，才能使终生消费的效用增加，因而当利率上升时，他们会把收入中用于青壮年时期消费的比例向高调整，把储蓄率下调一些，以便减少老年时期的消费风险，从而使终生消费的效用增加。最后，那些相对风险规避倾向适中的消费者认为，由利率上升带来的老年期收入增加所引起的老年消费效用的增加，正好抵销了由利率上升带来的老年消费风险加大所引起的老年消费效用的减少，所以，根本不用调整当前消费与储蓄的比例，边际消费倾向和储蓄率都将保持不变。经济的动态性一、资本进化与经济运行资本的形成：tK是时期t的老年人持有的资本总额，即前一时期t-1的青壮年的储蓄总额：11,111)(−−−−−=tttttLCwAK11,1()()tttttttttttttttttKAwCLsAwLsALwALsrw++=−===)(1111++++=ttttLAKk,)1(11gAAtt+=+)1(11nLLtt+=+()()()()()()()()1111111111111tttttttttttttttttttKsrKLALAwLALsrwksfkfkkfknAg++++++++++=⇓=⇓′′⎡⎤=−⎣⎦++1+tk在方程的等号两边同时出现，这说明上式隐含着1+tk与tk之间的一种函数关系，即1+tk是tk的隐含数。用)(•ϕ表示方程确定的这一隐函数，则单位有效劳动的资本k的进化规律为：)(1ttkkϕ=+),2,1,0(⋯=t这就