北大计量经济学

计量经济学第二章一元线性回归模型2从2004中国国际旅游交易会上获悉，到2020年，中国旅游业总收入将超过3000亿美元，相当于国内生产总值的8%至11%。（资料来源：国际金融报2004年11月25日第二版）◆是什么决定性的因素能使中国旅游业总收入到2020年达到3000亿美元？◆旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟是什么？◆怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数量关系?引子:中国旅游业总收入将超过3000亿美元吗？3应当考虑的问题：（1）确定作为研究对象的经济变量（如中国旅游业总收入）（2）分析影响研究对象变动的主要因素（如中国居民收入的增长）（3）分析各种影响因素与所研究经济现象的相互关系（决定相互联系的数学关系式）（4）确定所研究的经济问题与影响因素间具体的数量关系（需要特定的方法）（5）分析并检验所得数量结论的可靠性（需要统计检验）（6）运用数量研究结果作经济分析和预测（对数量分析的实际应用）42.1回归分析概述（1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。（2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。一、回归与相关（对统计学的回顾）1、变量间的关系经济变量之间的关系，大体可分为两类：5对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(correlationanalysis)或回归分析(regressionanalysis)来完成的：2,半径半径圆面积f施肥量阳光降雨量气温农作物产量,,,f正相关线性相关不相关相关系数：统计依赖关系负相关11XY有因果关系回归分析正相关无因果关系相关分析非线性相关不相关负相关例如：函数关系：统计依赖关系/统计相关关系：62、相关关系◆相关关系的描述相关关系最直观的描述方式——坐标图（散布图）YX7◆相关关系的类型●从涉及的变量数量看简单相关多重相关（复相关）●从变量相关关系的表现形式看线性相关——散布图接近一条直线非线性相关——散布图接近一条曲线●从变量相关关系变化的方向看正相关——变量同方向变化，同增同减负相关——变量反方向变化，一增一减不相关83、相关程度的度量—相关系数X和Y的总体线性相关系数：其中：Var(X)-----X的方差Var(Y)-----Y的方差Cov（X，Y）-----X和Y的协方差X和Y的样本线性相关系数：其中：Xi和Yi分别是变量X和Y的样本观测值，和分别是变量X和Y样本值的平均值(,)()()CovXYVarXVarY________22()()()()iiXYiiXXYYXXYYYX9●X和Y都是相互对称的随机变量，●线性相关系数只反映变量间的线性相关程度，不能说明非线性相关关系●样本相关系数是总体相关系数的样本估计值，由于抽样波动，样本相关系数是个随机变量，其统计显著性有待检验●相关系数只能反映线性相关程度，不能确定因果关系，不能说明相关关系具体接近哪条直线计量经济学关心：变量间的因果关系及隐藏在随机性后面的统计规律性，这有赖于回归分析方法使用相关系数时应注意:10①不线性相关并不意味着不相关；②有相关关系并不意味着一定有因果关系；③回归分析/相关分析研究一个变量对另一个（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定有因果关系。④相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分被解释变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。▲注意：114、回归分析回归的古典意义：高尔顿遗传学的回归概念(父母身高与子女身高的关系)回归的现代意义：一个被解释变量对若干解释变量依存关系的研究回归的目的（实质）：由固定的解释变量去估计被解释变量的平均值12●Y的条件分布：当解释变量X取某固定值时（条件），Y的值不确定，Y的不同取值形成一定的分布，这是Y的条件分布。●Y的条件期望：对于X的每一个取值，Y对Y所形成的分布确定其期望或均值，称为Y的条件期望或条件均值E（Y∣）注意几个概念iXiX13回归线与回归函数●回归线：对于每一个X的取值，都有Y的条件期望E（Y∣）与之对应，代表这些Y的条件期望的点的轨迹所形成的直线或曲线，称为回归线。●回归函数：被解释变量Y的条件期望E（Y∣）随解释变量X的的变化而有规律的变化，如果把Y的条件期望E（Y∣）表现为X的某种函数E（Y∣）=f()这个函数称为回归函数。回归函数分为：总体回归函数样本回归函数iXiXiXiXiX14每月家庭可支配收入X100015002000250030003500400045005000550082096211081329163218422037227524642824888102412011365172618742110238825893038932112112641410178619062225242627903150每960121013101432183510682319248828563201月125913401520188520662321258729003288家132414001615194321852365265030213399庭1448165020372210239827893064消1489171220782289248728533142费1538177821792313251329343274支160018412298239825383110出17021886231624232567Y1900238724532610201224982487271025892586900115014001650190021502400265029003150()iEYX举例：假如已知100个家庭构成的总体二、总体回归函数（PRF）15二、总体回归函数（PRF）1、总体回归函数的概念前提：假如已知所研究的经济现象的总体被解释变量Y和解释变量X的每个观测值,可以计算出总体被解释变量Y的条件均值E（Y∣），并将其表现为解释变量X的某种函数这个函数称为总体回归函数（PRF）()()iiEYXfX162、总体回归函数的表现形式（1）条件均值表现形式假如Y的条件均值E（Y∣）是解释变量X的线性函数，可表示为：（2）个别值表现形式（随机设定形式）对于一定的，Y的各个别值分布在的周围，若令各个别值与条件均值的偏差为,显然是随机变量则有01()()iiiiEYXfXXiXiX01()iiiiiiuYEYXYXiYiYiuiu()iEYX()iEYX01iiiYXu17●实际的经济研究中总体回归函数通常是未知的，只能根据经济理论和实践经验去设定。“计量”的目的就是寻求PRF。●总体回归函数中Y与X的关系可是线性的，也可是非线性的。3、注意几点18就变量而言是线性的——Y的条件均值是X的线性函数就参数而言是线性的——Y的条件均值是参数β的线性函数判断：变量、参数均”线性”参数“线性”，变量”非线性”变量“线性”，参数”非线性”计量经济学中线性回归模型主要指就参数是“线性”对线性回归模型“线性”的两种解释：01()iiiEYXX01()iiiEYXX201()iiiEYXX19三、随机扰动项u◆概念各个值与条件均值的偏差代表排除在模型以外的所有因素对Y的影响。◆性质：是期望为0有一定分布的随机变量重要性：随机扰动项的性质决定着计量经济方法的选择iYiuiu()iiEYXYXiXu20◆引入随机扰动项的原因●未知影响因素的代表●无法取得数据的已知影响因素的代表●众多细小影响因素的综合代表●模型的设定误差●变量的观测误差●变量内在随机性21四、样本回归函数（SRF）样本回归线：对于X的一定值，取得Y的样本观测值，可计算其条件均值，样本观测值条件均值的轨迹，称为样本回归线。样本回归函数：如果把被解释变量Y的样本条件均值表示为解释变量X的某种函数，这个函数称为样本回归函数（SRF）。YX22SRF的特点●每次抽样都能获得一个样本，就可以拟合一条样本回归线，所以样本回归线随抽样波动而变化，可以有许多条（SRF不唯一）。YSRF1SRF2X●样本回归函数的函数形式应与设定的总体回归函数的函数形式一致。●样本回归线还不是总体回归线，至多只是未知总体回归线的近似表现。23样本回归函数如果为线性函数，可表示为其中：是与相对应的Y的样本条件均值和分别是样本回归函数的参数被解释变量Y的实际观测值不完全等于样本条件均值，二者之差用表示,称为剩余项或残差项：或者样本回归函数的表现形式0ˆˆiiiiYXeˆiiieYY01ˆiiYXieieiXiYˆiY0ˆ1ˆ24对样本回归的理解如果能够获得和的数值，显然:●和是对总体回归函数参数和的估计●是对总体条件期望E（Y∣）的估计●在概念上类似总体回归函数中的，可视为对的估计。01iiiYXeieiXˆiY0ˆ1ˆ0ˆ1ˆ01iuiu25样本回归函数与总体回归函数的关系SRFPRFAXiuieˆiY()iiEYXiYiYYiX26回归分析的目的：用样本回归函数SRF去估计总体回归函数PRF。由于样本对总体总是存在代表性误差，SRF总会过高或过低估计PRF。要解决的问题：寻求一种规则和方法，使得到的SRF的参数和尽可能“接近”总体回归函数中的参数和。这样的“规则和方法”有多种，最常用的是最小二乘法100ˆ1ˆ1272.2一元线性回归模型的最小二乘估计用样本去估计总体回归函数,除了样本以外,还需要一些前提条件——假定条件一·简单线性回归的基本假定◆为什么要作基本假定？●模型中有随机扰动，估计的参数是随机变量，只有对随机扰动的分布作出假定，才能确定所估计参数的分布性质，也才可能进行假设检和区间估计●只有具备一定的假定条件，所作出的估计才具有较好的统计性质。28基本假定的内容◆对模型和变量的假定◆对随机扰动项的假定1、对模型和变量的假定●假定解释变量X是非随机的，或者虽然是随机的，但与扰动项u是不相关的。●假定解释变量X在重复抽样中为固定值。●假定变量和模型无设定误差。292、线性回归模型的基本假设（1）随机误差项的零均值假设E(ui)=0i=1,2,…,nE(Yi)=0+1Xi（2）随机误差项的同方差假设Var(ui)=u2i=1,2,…,nVar(Yi)=u2（3）随机误差项无自相关Cov(ui,uj)=0i≠j；i,j=1,2,…,nCov(Yi,Yj)=030以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。4、随机误差项与解释变量X之间不相关：Cov(Xi,ui)=0i=1,2,…,n*********************************************一般在对回归系数进行显著性检验，还假设u正态分布ui~N(0,u2)i=1,2,…,n31二、参数的普通最小二乘估计（OLS）1、普通最小二乘法的原理给定一组样本观测值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.普通最小二乘法（Ordinaryleastsquares,OLS）给出的判断标准是：二者之差的平方和niiiniXYYYQ121021))ˆˆ(()ˆ(最小。32方程组（*）称为正规方程组（normalequations）。2、正规方程组3322221)(iiiiXnXXXxiiiiiiiiYXnYXYYXXyx1))((上述参数估计量可以写成：XYxyxiii1021ˆˆˆ称为OLS估计量的离差形式（deviationform）。3、回归系数的估计量由正规方程组34由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的，故称为普通最小二乘估计量（ordinary