半参数计量经济联立模型的变窗宽估计理论

2007年中国经济学年会投稿领域：数理经济与计量经济学1半参数计量经济联立模型的变窗宽估计理论叶阿忠吴相波黄志刚(福州大学管理学院，福建福州350002)摘要：联立方程模型在经济政策制定、经济结构分析和经济预测方面起重要作用。文章将半参数单方程计量经济模型的局部线性估计方法与传统联立方程计量经济模型的工具变量估计方法相结合,在随机设计(模型中所有变量为随机变量)下,提出了半参数联立方程计量经济模型的局部线性工具变量变窗宽估计方法,并利用极限理论研究了估计的大样本性质。结果表明：参数分量的估计具有一致性和渐近正态性且收敛速度为n-1/2；非参数分量估计在内点处具有一致性和渐近正态性,其收敛速度达到了非参数函数估计的最优收敛速度。关键词：半参数模型；局部线性估计；工具变量估计；变窗宽估计；渐近正态性Theoryofvariablebandwidthestimationforsemi-parametricsimultaneousequationseconometricmodelsYEAzhong,WUXiangbo,HUANGZhigang(CollegeofManagement,FuzhouUniversity,Fuzhou,Fujian350002)Abstract:Econometricsimultaneousequationmodelsplayanimportantroleinmakingeconomicpolicies,analyzingeconomicstructureandeconomicforecasting.Thispaperpresentsanestimationmethodforsemi-parametricsimultaneousequationseconometricmodel.Alocallinearestimationwithvariablebandwidthwasusedwithinstrumentalvariables,whenallvariableswererandom.Alocallinearestimationmethodforsemi-parametricsingleequationmodelwascombinedwiththetraditionalinstrumentalvariablemethodforsimultaneousequationsmodel.Thepropertiesunderlargesamplesizewerestudiedbyusingtheasymptotictheory.Theresultsshowthattheestimatorsoftheparametershaveconsistencyandasymptoticnormality,andtheirconvergenceratesareequalton-1/2.Andtheestimatorofthenonparametricfunctionhastheconsistencyandasymptoticnormalityininteriorpointsanditsrateofconvergenceisequaltotheoptimalconvergencerateofthenonparametricfunctionestimation.Keywords:semi-parametricmodels;locallinearestimation;instrumentalvariableestimation;variablebandwidthestimation;asymptoticnormality0引言计量经济联立模型在经济政策制定、经济结构分析和经济预测方面起重要作用[1-2]。传统的线性或非线性计量经济联立模型[1-3]容易造成单方程的设定误差，致使联立方程的累积误差较大，不能很好地反映现实中的经济现象。目前非参数计量经济联立模型的估计理论已取得较大进展[4-8]，但已有的研究存在的共同局限性有两方面，一是假定经济变量的关系未知，而现实中的经济变量的关系是部分已知的；二是模型非参数回归函数估计趋于实际量的收敛速度慢。变窗宽估计的窗宽可随着观察点的不同而不同，这样有的附近数据多的点的窗宽可取小一些，附近数据少的点的窗宽可取大一些，从而改进估计效率[8-10]。本文收稿日期：2007-01-基金项目：国家自然科学基金资助项目(70371025)；教育部人文社会科学研究资助项目(02JA790014)作者简介：叶阿忠(1963-)，男，福建沙县人，博士，教授，电话：[phone]，Email：[e-mail]。2007年中国经济学年会投稿领域：数理经济与计量经济学将作者的非参数计量经济联立模型的变窗宽估计理论[8]进行扩展，提出半参数计量经济联立模型的局部线性工具变量变窗宽估计，并证明了参数分量估计的渐近正态性和一致性，且其收敛速度为(与经典线性回归模型参数的收敛速度一致[3][11])，还证明了非参数分量估计(在内点处)的渐近正态性和一致性，它的收敛速度达到了非参数函数估计的最优收敛速度。我们的研究表明：由于半参数模型中的部分解释变量与被解释变量的关系已知，所以，其参数分量和非参数分量估计的收敛速度快于非参数模型回归函数估计的收敛速度，这与经典的半参数单方程回归模型的结论一致[12-13]。从而，本研究建立的半参数计量经济联立模型的工具变量变窗宽估计理论有效地克服和弥补了已有的非参数计量经济联立模型估计理论的缺陷，使得联立模型的估计理论更具有实用价值。1/2n−1局部线性工具变量变窗宽估计设半参数计量经济联立模型的某结构式方程为2Ym()iiiiuβ++XP1,,in(==)(1)其中β是未知参数，是未知函数，是在()m⋅111(,,),,(,,nnnYYXPXP)1dR+()xpddd=+上取值的独立同分布的随机变量向量序列，是均值为零且相互独立的随机变量。假定解释变量向量和中某些变量是内生变量与随机误差项相关，即iuT1(,,)xiidiXX=XT1(,,)piidiPP=Piu()iiEu0≠X，()iiEu0≠P(2)经典的半参数回归模型假定解释变量与随机误差项不相关[12-13]，但在联立模型中该假定被破坏[1-3]，或是与被解释变量关系已知的解释变量中有些变量与随机误差项相关，或是与被解释变量关系未知的解释变量中有些变量与随机误差项相关。假定，设非参数函数及其一阶、二阶导数有界连续，则其估计的最优收敛速度为T1(,,)xiidiXX=XT1(,,)piidiPP=P3pd≤m2/(4)pdn−+[14-15](过大将会降低估计的收敛速度)。设是pdm1,,nZZ1dR+上独立同分布的随机变量向量，其中。假设，称为工具变量向量。T1(,,)iidiZZ+=Z10ZZXPiZ()0,(|,)iiiiiiEuEu==设()f⋅P是的密度函数，有凸支撑T1(,,)piidiPP=P()0fPpsupp()pdfR⊂P，fP是有界连续函数，其一阶导数连续；、(|jiiEZ=Pp)2(()|)jiiEZ=Pp和2(()|jikiiiEZZu)=Pp有界连续；设()K⋅是维密度函数，令，称pd1()()pndhnnKhKh−−=ppK为核函数，/()()nihKα⋅P为核权函数，为不变窗宽，nh()iαP为变窗宽。若掌握解释变量iP分布的一些信息，对密度大的点取较小的窗宽，对密度小的点取较大的窗宽，这样采用与掌握的信息有关的变窗宽估计将会提高估计的效率[8-10]。假定核函数K有紧支撑2007年中国经济学年会投稿领域：数理经济与计量经济学1supp()[1,1]ppddiKR=⊂−⊂∏且T2()0,()1,(),()()KKdKdKdKμ≥===∫∫∫pppppp0ppppI其中2()0Kμ≠，为单位阵。I定义1给定supp()pdPfR∈⊂p和窗宽h，记1,,{:((()))supp()}supp()hPhfαα−Θ=+∈pzppz∩K若存在，使得当时，00h0hh≤,,supp()hKαΘ=p，则称为supp(p)Pf的内点。否则称之为边界点。约定i分别是元素全为1的矩阵或列向量或行向量。条件1(为某常数)，1/(4)pdnhcn−+=⋅c()α⋅有界且min()0αzz。条件2存在，其中，，T*,(ppα−ΦZW1)1)PPWPpT1(,,pppΦ=PP0T**1*(,,)n=ZZZT*1(,,xididiZZ++=Z1,/()1/(){(),,()}nnnphhndiagKKααα=−−Pp,。)nTT(1,())pii=−PPp条件3，其中。#*[(()[()|])]iiiiEmEmZPPZ−=T#1(,,)xiiriZZ=Z定义2在条件1-2下，模型(1)中参数β的局部线性工具变量变窗宽估计ˆ()IVβα是下列线性方程组的解：121[(,)((,))]0,1,,niiiijiiYmZjdααβ=−−−==∑PXmPx,(3)其中，，TT1T11*,*,(,)()pppmααα−=ΦpeZWZWYTT1T21*,*(,)()pppααα−=ΦmpeZWZWXT1(1,0,,0)=e。定义3在条件1-2下，模型(1)中非参数函数()m⋅的局部线性工具变量变窗宽估计为12ˆˆ(,)(,)(,)()IVIVmmαααβ=−ppmpα(4)2局部线性工具变量变窗宽估计的性质引理1在条件1-2下，1(,)mαp和2(,)αmp分别是(|)EY=Pp和的一致估计且收敛速度都是()。(|)E=XPp2/(4)pdn−+2/(4)1/4pd+证明由文献[8]中定理1的推论2可推得。引理2(Chebychev不等式)设X为随机变量，则对于任意0ε，32007年中国经济学年会投稿领域：数理经济与计量经济学2(|()|)var()/PXEXXεε−≥≤定理1在条件1-3下，T1TT1ˆ(())(0,()()LIVnNβαβ−−⎯⎯→ΓΓΓΓΓΓV)−](5)其中,T[()()]iiEQQββ=V#**()[(|)((|))iiiiiiiiQYEYEββ=−−−ZZXXZ,T#*[((|))iiiiEEΓ=−ZXXZ]。证明由引理1知，1(,)mαp和2(,)αmp是一致估计。再应用文献[16]中定理3或文献[17]的定理1可得到本定理的结论。注1由定理1可知，参数分量估计的收敛速度为，与经典线性回归模型参数的收敛速度一致[3][11]。1/2n−推论1在条件1-3下，ˆ()pIVβαβ⎯⎯→。证明由定理1和引理2容易推得。从文献[8]的引理3可知，T1T11*,()(,)pppnαα−−Φ=+eZWBp()o1(6)其中12(,)((,),(,))Bααα=BppBp,,11111122221(,)[()(,)((,))()]BAααα−−=−ppApApAp2111222211112(,)(())(,)[(,)()(())(,)]Aααα−−=−−BppApApApApAp110()()()Afg=PpppTg111α−,,03TTT120supp()TT200(,)(){()()()()()[()()()()(()()()())]}PKKpffgdKdfggfααααμα−=+++∫PPPAppppuDpuuDuuppDpppDppDp,211()()()f=PAppgp,13TTT221supp()TT211(,)(){()()()()()[()()()()(()()()())]}PKKpffdKdffααααμα−=+++∫PPPApppgpuDpuuDuupgpDppgpDppDpTg,TT01*[(),(())]()(|)iigE===pgpgpZPp。记12ˆ(,,)(,)(,)IVmmαβα=−ppmpαβ。定理2在条件1-2下，设supp()pdPfR∈⊂p为内点，则22/(4)2ˆ[(,,)()](()(,),()(,)2ppdddIVcnmmNKacRKb