单方程计量经济模型理论与方法

第六章单方程计量经济模型理论与方法该种模型是以单一经济现象为研究对象，模型中只包含一个方程。2．1线性回归模型单方程计量经济模型分为线性模型和非线性模型。线性回归模型是线性模型的一种，它的数学基础是回归分析。2．1．1线性回归模型的特征看下列例子：根据凯恩斯的绝对收入假说消费理论，认为消费是由收入唯一决定的，是收入的线性函数，随着收入的增加，消费也增加，但是消费的增长低于收入的增长，即边际消费倾向递减。其数学描述为byax，此处yxyxyx,10（2.1.1）其中x为消费额，y为收入。但是实际上，消费与收入间的关系并非准确实现的。由于下列原因：消费除了受到收入的影响外，还受到诸如消费群体的平均收入水平、消费习惯、对未来收入的期望等；线性关系的近似性；收入数值的近似性。这样更符合实际的是将收入与消费间关系描述为byax(2.1.2)其中为随机误差项。方程（2.1.1）是确定性方程，方程中的参数不能用回归分析方法求得，所以不是线性回归方程，因此也不是计量经济学方程；方程(2.1.2)是随机方程，其中的参数可用回归分析方法求得，是线性回归方程，因此也是计量经济学方程。引入随机误差项，将变量间的关系用一线性随机方程来描述，用随机数学的方法来估计方程中的参数，这就是线性回归模型的特征，也就是线性计量经济学模型的特征。单方程线性回归模型的一般形式如下nixxxyikikiii,,2,1,22110（2.1.3）其中y为被解释变量，kxxx,,,21称为解释变量，i为随机误差项，n为样本容量，k,,,10为待定参数。习惯上将常数项看成为一虚变量的系数，在参数估计过程中该虚变量的样本观测值始终取1，这样模型中解释变量的数目是1k。随机误差项主要包括下列因素（1）在解释变量中被忽视的因素的影响；（2）变量观测值的观测误差的影响；（3）模型关系的设定误差的影响；（4）其他随机因素的影响。2．1．2线性回归模型的普遍性虽然经济现象表现为线性关系的情况很少，但是它们中一大部分可以通过有些简单的变换使得化为数学上的线性关系。（1）直接置换方法例商品的需求曲线为一双曲线关系，商品需求量q与商品价格p间的关系表现为非线性关系pbaq11，可以用pxqy1,1置换将方程化为线性关系。（2）对数变换例Cobb-Dauglas生产函数将产出量Q与投入要素),(LK间的关系描述为幂函数形式LAKQ，方程两边取对数即化为线性关系。（3）级数展开CES生产函数将产出量Q与投入要素),(LK间的关系描述为如下形式1,)(21121LKAQ，方程两边取对数得到)ln(1lnln21LKAQ，将式中)ln(21LK在0处展开为Taylor级数，取关于的线性项，即得到一线性近似式。2．1．3线性回归模型的基本假设对于线性回归模型，估计的要求是用回归分析的方法估计模型的参数。常用的是最小二乘法。针对方程（2.1.3），其基本假设有下列（1）解释变量kxxx,,,21为确定性变量，不是随机变量；且解释变量间互不相关；（2）随机误差项具有0均值和同方差，即niVarEii,,2,1,)(,0)(2。（3）随机误差项在不同样本点间是独立的，不存在序列相关，即jiCovji,0),(，其中Cov表示协方差。（4）随机误差项与解释变量间不相关，即nikjxCoviji,,2,1;,,2,1,0),(。（5）随机误差项服从0均值、同方差的正态分布，即),0(~2Ni。对于该假设，根据中心极限定理，当样本容量趋于无穷大时，对于任何实际模型都满足。2．2一元线性回归模型的参数估计其一般形式为nixyiii,,2,1,10(2.2.1)满足基本假设,)(,0)(2iiVarEjiCovji,0),(，njixCovii,,2,1,,0),(。随机抽取n组观测值iiyx,，来估计模型的参数。主要包括两项：求得反映变量之间数量关系的结构参数的估计量，在一元线性回归模型（2.2.1）中即为参数10,的估计量；求得随机误差项的分布参数，也即方差。2．2．1普通最小二乘法(OLS)普通最小二乘法（ordinaryleastsquare）是应用最多的参数估计方法。在获得n组观测值iiyx,，假定模型(2.2.1)的参数估计量已经求得为10,，且是最合理的参数估计量，则直线方程nixyii,,2,1,10(2.2.2)应该能最好地拟合样本数据。其中iy为被解释变量的估计值，为由参数估计量和解释变量的观测值计算而得。则被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和niiiyyQ12)((2.2.3)最小。将(2.2.2)代入上式并利用多元函数求极值的方法可得2110~~~,iiixyxxy，其中yyyxxxnyynxxiiiiii~,~,,。下面求随机误差项方差的估计量。记iiiyye为第i个样本观测点的残差，则随机误差项方差的估计量为222nei。2．2．2极大似然法（ML）极大似然法（maximumlikelihood）是从极大似然原理出发比最小二乘法原理更本质地揭示通过样本估计母体参数的内在机理。对于最小二乘法，当从模型总体随机抽取n组观测值，最合理的参数估计量是使得模型能最好地拟合样本数据；而对于极大似然法，当从模型总体随机抽取n组观测值，最合理的参数估计量是使得从模型中抽取该n组观测值的概率最大。从模型总体随机抽取n组观测值，在任意一次抽取中，样本观测值都以一定概率出现，若已知总体的参数，当然由变量的频率函数可求其概率，以正态分布为例，要对每个可能的正态总体估计取得n组观测值的联合概率，然后选择其参数能使得观测值的联合概率为最大的那个总体。将样本观测值联合概率函数称为变量的似然函数，通过似然函数极大化以求得总体样本参数估计量的方法称为极大似然法。对于一元线性回归模型nixyiii,,2,1,10，满足niVarEii,,2,1,)(,0)(2，),0(~2Ni。随机抽取n组观测值iiyx,，假设模型的参数估计量已经求得为10,，则iy服从如下正态分布),(~210iixNy，从而iy的概率函数为nixyyPiii,,2,1,)(21exp21)(2102。由于iy为相互独立，所以y的所有样本观测值的联合概率，即似然函数为nixyyyyPLiinn,,2,1,)(21exp)2(1),,,(),,(21022221210将该函数极大化即求得模型参数的极大似然估计量。对等式两边取对数再根据多元函数求极大值方法得到模型的参数估计量为2212220)()(iiiiiiiiiiiiixxnxyxynxxnxyxyx以及随机误差项的方差估计量为2102)(1iixyn。2．2．3参数估计量的性质（1）线性性：指参数估计量为iy的线性函数，同时由于iy为随机变量，所以也是随机变量。（2）无偏性：指参数估计量的均值（期望）等于模型参数值，即1100)(,)(EE。关于参数的最大似然估计量与普通最小二乘法估计量的无偏差性。事实上，由于2212220)()(iiiiiiiiiiiiixxnxyxynxxnxyxyx，仅对1作进一步推导2221212210101)()()()()(iiiiiiiiiiiiiiiixxnxxxnxnxxnxxxxn利用基本假设：0)(iE，nixCovii,,2,1,0),(，即0)(iixE以及期望运算关系)()),((iiiiiiiiiiExExxuExExE，这样可得11)(E。（3）最小方差性（有效性）：指在所有线性、无偏估计量中，该参数估计量的方差最小。利用2110~~~,iiixyxxy，其中yyyxxxnyynxxiiiiii~,~,,，可得22221~~~~~)(~~~~iiiiiiiiiiixxyxyxxyyxxyx，由于0~ix，令2~~iiixxk，则有iiiiiiiiiikxkkxkyk10101)(，而1,0iiixkk，所以iik11，对此求方差有2222221)()~(~)(xxxxVariii。对于0按照上述类似推导有2220)()(xxnxVarii。根据Gauss-Markov定理得知这样求得的方差是所有无偏估计量的方差中最小的，也即最小二乘法得到的参数估计量是有效的估计量。（4）随机误差项方差估计量的无偏性：下面导出关系式222nei。模型（2.2.1）的离差形式是)(~~1iiixy，而（2.2.2）可表示为iixy~~1。于是22121221222222222~)()(~2~~~)()())())((2)(())()(()(iiiiiiiiiiiiiiiiiixxxyyyyyyyyyyyyyyyyyyyye因为22212221121)1()(,0)(,~))(()()(nEExEVarEiii这样有2221222221212212212)2()1(~~~)(~)()(~2~)(nnxxxExEExxeEiiiiiiiii。因此可得222neEi，这就证明了22nei为2的无偏估计量。同样可以证明由2102)(1iixyn表示的随机误差项的方差的极大似然估计量则为有偏估计量。例我国国家财政中用于文教科技卫生事业经费的支出主要由国家财政收入决定，两者间具有线性关系，即下列模型tttbFIaED，其中tED为第t年国家文教卫生事业经费支出额（亿元），tFI为第t年国家财政收入额，t为随机误差项，ba,为待估计的参数。选取1991—1997年的数据为样本，利用2110~~~,iiixyxxy，其中yyyxxxnyynxxiiiiii~,~,,分别计算参数估计值。有关数据如下年份EDFIDE~IF~DEDEEDEDDEED/)(19911992199319941995199619977083149-551-2351734-26-0.0377933483-466-2017804-11-0.0149584349-301-11511001-43-0.0451278521819-2821196820.064146762422087421424430.0291704740844519081685190.0111904865164531511963-59-0.031这样有236869644,5500,1259,38500,88122ttttttFIIFDEFIED,25119644~,5612207~~,540782072tttttttt