导数及其经济应用

第1页2.1（1）导数的概念目标重点•能从极限理论及实例出发理解导数的概念理解左右导数、导函数概念难点导数定义•掌握导数的几何意义与经济意义，掌握可导与连续的关系变化率的思想，导数的经济意义第2页2.1（1）导数的概念一、导数定义二、可导与连续的关系1.导数定义2.左导数与右导数3.导数与导函数第3页引入我们知道，总成本是产量的函数.如果由产量的微小变化引起成本的很大变化，那么就说明成本随产量变化的较快；反之则说明成本随产量变化的较慢．由总成本和总收益对产量变化的快慢程度，就可知总利润的增减情况．这些问题归结到数学上就是研究函数的变化率问题也就是导数．2.1（1）导数的概念第4页一、导数定义第5页一、导数定义第6页一、导数定义第7页一、导数定义第8页一、导数定义第9页一、导数定义第10页一、导数定义第11页一、导数定义第12页一、导数定义第13页一、导数定义第14页一、导数定义第15页一、导数定义第16页一、导数定义第17页一、导数定义第18页一、导数定义第19页二、可导与连续的关系第20页二、可导与连续的关系第21页小结、作业小结1.导数的定义2.导数的物理、几何、经济意义3.可导性的判断4.可导与连续的关系作业P40：6；P47：2第22页2.1(2)导数的运算目标重点难点求复合函数的导数•熟记导数公式和法则求导公式和法则•能熟练求导数第23页2.1(2)导数的运算一、导数的四则运算法则二、复合函数的导数第24页一、导数的四则运算法则第25页一、导数的四则运算法则第26页一、导数的四则运算法则第27页一、导数的四则运算法则第28页一、导数的四则运算法则第29页一、导数的四则运算法则第30页二.复合函数的导数第31页二.复合函数的导数第32页二.复合函数的导数第33页二.复合函数的导数第34页小结、作业小结作业P4810双号第35页2.1（3）二阶导数与偏导数目标重点•掌握二阶导数的求法•会求二阶导数与偏导数难点二阶偏导数•掌握偏导数的求法第36页一、二阶导数第37页一、二阶导数第38页二、偏导数1.偏导数的概念与计算第39页二、偏导数第40页二、偏导数第41页二、偏导数第42页二、偏导数第43页二、偏导数2.二阶偏导数第44页二、偏导数第45页二、偏导数第46页小结、作业小结作业P61：41.二阶导数2.偏导数的概念与计算3.二阶偏导数第47页2.2微分目标重点难点•理解微分的概念•弄清微分与导数概念与函数改变量的区别及联系•掌握可导与可微的关系•掌握微分的求法•会用微分进行近似计算微分与导数的关系、微分近似计算微分近似计算第48页2.2微分一、微分的概念1、定义2、可导与可微的关系二、微分的应用第49页一.微分的概念第50页一.微分的概念第51页一.微分的概念第52页一.微分的概念第53页一.微分的概念第54页一.微分的概念第55页一.微分的概念第56页一.微分的概念第57页一.微分的概念第58页二.微分的应用第59页二.微分的应用第60页二.微分的应用第61页二.微分的应用第62页二.微分的应用第63页2.3（1）一元函数的极值与最值目标重点•明确极值点可能是哪些点；掌握极值存在的必要、充分条件；会求函数的极值。难点•弄清极值和最值的区别与联系，掌握最值的两种特殊情况，会求函数的最值。极值的求法正确求极值第64页2.3（1）一元函数的极值与最值一、函数的单调性二、函数的极值三、函数的最值四、极值的应用第65页一、函数的单调性第66页一、函数的单调性第67页一、函数的单调性第68页一、函数的单调性第69页一、函数的单调性第70页一、函数的单调性第71页二、函数的极值第72页二、函数的极值第73页二、函数的极值第74页二、函数的极值第75页二、函数的极值第76页二、函数的极值第77页二、函数的极值第78页三、函数的最值第79页三、函数的最值第80页三、函数的最值第81页三、函数的最值第82页四、极值的应用第83页四、极值的应用第84页四、极值的应用第85页四、极值的应用第86页四、极值的应用第87页四、极值的应用第88页四、极值的应用第89页1.连续函数的极值(1)极值点可能是:驻点或导数不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值2.连续函数的最值最值点应在极值点和边界点上找，实际问题看意义。小结与作业同步训练2.3单号题第90页目标重点凹向与拐点的实际意义，二元函数极值的求法难点求二元函数的极值•会判断曲线的凹向，会求拐点。•明确最值和拐点的实际意义，能应用其解决经济问题•掌握二元函数极值存在的必要、充分条件,会求二元函数极值2.3（2）曲线的凹向与拐点2.4（1）二元函数的极值第91页2.3（2）曲线的凹向与拐点2.4（1）二元函数的极值一、曲线凹凸性及拐点的概念二、曲线凹凸性的判断三、曲线凹凸性的实际意义四、二元函数的极值第92页一、曲线凹凸性及拐点的概念第93页二、曲线凹凸性的判断第94页二、曲线凹凸性的判断第95页二、曲线凹凸性的判断第96页二、曲线凹凸性的判断第97页三、曲线凹凸性的实际意义第98页三、曲线凹凸性的实际意义第99页三、曲线凹凸性的实际意义第100页三、曲线凹凸性的实际意义第101页三、曲线凹凸性的实际意义第102页四、二元函数的极值第103页四、二元函数的极值第104页四、二元函数的极值第105页四、二元函数的极值第106页四、二元函数的极值第107页四、二元函数的极值第108页四、二元函数的极值第109页四、二元函数的极值第110页四、二元函数的极值第111页四、二元函数的极值第112页四、二元函数的极值第113页1.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(Ixxf,0)(+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点总结、作业2.二元函数极值与一元函数极值充分条件区别作业：同点训练2.4，双号题第114页2.4（2）二元函数极值的应用目标重点难点•会用二元函数极值解决相关经济问题•会用最小二乘法建立经验公式•正确应用最小二乘法建立经验公式•解应用题•正确应用最小二乘法建立经验公式•解应用题第115页2.4（2）二元函数极值的应用一、无条件极值二、最小二乘法第116页一、无条件极值第117页一、无条件极值第118页一、无条件极值第119页一、无条件极值第120页一、无条件极值第121页二、最小二乘法第122页二、最小二乘法第123页二、最小二乘法第124页二、最小二乘法第125页二、最小二乘法第126页二、最小二乘法第127页二、最小二乘法第128页二、最小二乘法第129页二、最小二乘法第130页二、最小二乘法第131页总结、作业总结用最小二乘法建立经验公式的步骤合理选择求二元函数极值的方法作业同步训练2.4，后三题第132页2.5导数在经济分析中的应用一、边际分析二、弹性分析熟练掌握边际函数、弹性函数的定义、经济意义、求法，能解决经济领域中的实际问题。目标：重点：难点：解决有关边际及弹性的应用题弹性的应用题的计算，正确表述经济意义第133页边际分析就是分析经济函数)(xfy我们把经济变量x在一定的水平下，x有一个单位变动时，所引起的经济变量y的变动量称为边际量．反映到数学上，就是将函数均有改变量Δx和Δy时，中，当变量x与变量y其变动量之间的关系．在经济学中，，在Δx=1时,Δy的值称为边际值.)(xfy引言一、边际分析第134页•定义)(xfyx设函数在可导，则导数)(xf)(xf称为的边际函数，记作My)(xMf或)(0xf0x是的边际值，反映该点的变化速度.•意义x改变一个单位，y)(0xf改变个单位.0xx时，当常用的有：边际成本、边际收益、边际利润等。一、边际分析第135页23.0)(QQCC3.0ddQC3.0MC0MC1．边际成本求边际成本，并分析其经济意义.即边际成本一般地，线性成本函数是增函数，即生产成本随产品产量的增加而增加，即例1已知产量为Q时的成本函数C为解常数表明：产品产量为任何水平时，产量每增加一个单位，生产成本均匀增加0.3.一、边际分析第136页,36QMC指出固定成本、可变成本；（1）略（3）无影响，例如，每月固定税收200，只是固定成本增加了200，总成本求导后，边际成本没变。例2某企业生产Q个产品的总成本解当Q=100时，产量每增加一个单位，生产成本就增加136个单位.9800365.0)(2QQQCC么？举例说明.Q为100时的边际成本，并分析经济意义，问对其收固定税收对其边际成本是否有影响？为什（2）,136100QMC一、边际分析第137页可变成本为当产量是50件时，平均成本边际成本，此时继续提高产量是合理的。例3某厂生产某产品固定成本解,10000C,421QC问该厂生产50件商品时的总成本、平均成本、边际成本是多少？此时继续提高产量是否合适？,410002QC,1625)50(C,5.32501625C,2QCMC.25)50(C一、边际分析第138页小结：（1）当边际成本小于平均成本时，应继续增产；（2）当边际成本等于平均成本时，得到平均成本的最优值；（3）当边际成本大于平均成本时，则不应继续增产．若继续增产必进行技术革新，以降低成本，使平均成本变小．由以上的结论还可得到，当在直角坐标系中分别画出平均成本曲线与边际成本曲线的图形时，平均成本曲线与边际成本曲线若相交的话，必交在平均成本曲线的最低点处．一、边际分析第139页例4设某产品的需求函数为解2.边际收益,520QP求：销量为10单位时的总收益、平均收益与边际收益；销量由10单位增加到20单位时收益的平均变化率。,5202QQPQR;5220QR,PQRR,18020200)10(R;16420)10(R,18R.14101803201020)10()20(RRQR一、边际分析第140页解3.边际利润)()()(QCQRQLL企业经营处于最优状态是利润最大，由存在极值的必要条件，得0)()(QCQRL.MCMR企业最优经营条件是：边际利润为零，总利润最大；或边际收益等于边际成本,5250)(2QQQLL例5某公司总利润L(元)与每天产量Q（吨）关系为试确定每天生产10t、20t、25t、30t时的边际利润，并予以经济解释.一、边际分析第141页QQL10250)(,150100250)10(L,50200250)20(L,0250250)25(L.50300250)30(L解当日产量为10t时，再多生产1t，总利润约增加150元；当日产量为20t时，再多生产1t，总利润约增加50元；当日产量为25t时，再多生产的话，利润不增，反而开始减少，此时是最优产出；当日产量为30t时，再多生产1t，总利润约减少50元。一、边际分析第142页从经济学中的需求关系可知：当商品价格上涨时，会导致需求量下降；当价格下跌时，会导致需求量上升；但是它并没有指出价格与需求量变动的对应关系。对某些商品而言，需求量对价格变动具有敏感性，某些商品的需求量对价格变动不具有敏感性．我们非常想知道需求量对价格变动的灵敏度，即价格每变动%时，需求量随之变动的百分数，决定这一因素的经济学量是需求弹性．引言二、弹性分析第143页边际函数是函数的绝对变化率.在实际问题中，仅研究函数的绝对变化率是不够的.如，商品甲价格10元/个，涨价1元；商品乙价格100元，涨价1元。两种商品的绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，两者涨价的幅度（百分比）大不相同，甲涨了10%，乙涨了1%。边际值是函数的绝对变化率，看不出变化的幅度，有必要研究函数的相对变化率，即为函数的弹性。二、弹性分析第144页定义)(xfy0xx设函数在点处可导，函数的相变化率，即两点间的弹性.0xx与自变量的相对改变量00//xxyy之比0yy对改变量)(xf称为函数0xxxxx0从到两点的相