有价证券投资的优化问题

有价证券投资的优化问题朱国腾，李明超，昌继海中国矿业大学理学院，江苏徐州(221008)E-mail：[e-mail]摘要：在充分理解题意的基础上，我们提出了合理的假设。通过对问题的深入分析，我们将本题归结为优化问题，并建立线性规划与目标规划模型。对于问题一，我们通过确定目标函数，寻找约束条件，建立了线性规划模型，并用投资风险模型和目标规划进行了检验。在问题二中，利用对偶单纯形法建立影子价格模型来判断当投资者以一定的利率向银行借贷一定资金时，投资方案是否改变，并用问题一中模型进行了检验。关键词：证券投资；线性规划；影子价格中图分类号：O231.引言某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级，到期年限、收益如下表所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50％的税率纳税，此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。表1五种证券的信用等级、到期年限及收益表证券名称证券种类信用等级到期年限/年到期税前收益/%A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5试问：1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？并考虑利率在什么范围内变化时，投资方案不改变？2.问题的基本假设(1)假设该经理把资金全部投入，且各种类的证券的信用等级、到期年限、到期税前收益皆不变。(2)投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资is中最大的一个风险来度量。(3)在借贷过程中，银行的利率不发生变化。纳税的税率同样不变。(4)信用等级可以视为风险的一种情况。符号与说明:Z经理的最大投资利益jc:价值系数:iS投资第i种项目:iix投资S项目的资金^:iix投资S项目的资金比例:Nσ检测数:iir投资S项目的收益率:iiq投资S项目的风险损失率:iip投资S项目的交易率u:ii投资S项目的资金:iiu投资S的交易定额:iiE投资S项目获得的收益率的期望:BX最优基变量iP:第i次的优先因子4.问题分析考虑问题的题设和要求，我们要解决的是有价证券投资的优化问题。证券投资问题是一类典型的规划问题，最终目的是使投资者的收益最大，风险最小。对于规划问题的解题步骤是：第一步，确定目标函数；第二步，找出约束条件；第三步，对规划函数进行求解。对于问题一，我们综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限等这些条件，按照题目所要求，将决策变量、目标函数和约束条件构成的线性规划模型和投资风险模型求解。直接利用LINGO软件可以求得。问题二要求我们分析当经理以一定的利率借到部分资金后，证券投资方案是否改变。我们可以利用问题一的影子价格判断经理借贷后再投资是否盈利，从而判断经理是否借贷投资。5.问题一的模型建立及求解5.1模型一：线性规划模型5.1.1目标函数的确定和其他经济类问题一样，有价证券投资的目的亦在追求最大利润。首先确定决策变量，为减少计算带来的误差，设投资这五种证券类型A、B、C、D、E的资金分别为12345,,,,xxxxx单位为百万元。我们所求的目标函数是在所给条件下银行经理获利最大，由表及已知条件得目标函数为：123450.0430.0270.0250.0220.045MAXZxxxxx=++++5.1.2约束条件的挖掘下面我们来分析挖掘题目中一些约束条件。（1）银行经理有1000万元资金需要投资，则资金约束为：1234510xxxxx++++≤（2）政府及代办机构的证券总共至少要购进4百万元，则有2344xxx++≥（3）所投资的平均信用等级不超过1.4，信用等级限制为12345123452251.4xxxxxxxxxx++++≤++++化简得：123456644360xxxxx+−−+≤（4）所购证券的平均到期年限不超过5年,年限限制为12345123459154325xxxxxxxxxx++++≤++++化简得：12345410230xxxxx+−−−≤（5）五种证券类型的投资金额非负，即123450,0,0,0,0xxxxx≥≥≥≥≥5.1.3规划模型的建立综上分析，我们得到银行经理证券投资利润最大的优化模型，如下123450.0430.0270.0250.0220.045MAXZxxxxx=++++12345234123451234512345104.66443604102300,0,0,0,0xxxxxxxxstxxxxxxxxxxxxxxx++++≤⎧⎪++≥⎪⎪+−−+≤⎨⎪+−−−≤⎪⎪≥≥≥≥≥⎩5.1.4模型求解利用LINGO9.0解得银行经理的最大收益为29.84万元。五种证券类型最优投入的资金方法如下表：表3五种证券类型投资资金证券类型ABCDE最大收益投资金额(万元)218.180736.36045.4629.845.2模型二：投资风险模型对于投资者来说，为了分散投资风险并取得适当的投资，投资者往往采用组合证券[3]的投资方式，即把一笔资金同时投资于若干种不同的证券。对于不同的投资者，其投资偏好也有所不同。保守型的投资者对风险反映敏感，稳扎稳打，谨慎从事。而另一种喜欢冒险的投资者则喜欢冒险，富有进取精神。因此，对于不同的投资者来说，其投资偏好不同，决策的两种方式分别为：1、在已知风险条件下，获得最大收益。2、在已知期望收益条件下，使投资风险达到最小。具有上述性质的组合投资是有效的投资组合，所有的有效投资组合在“收益—风险”平面上所形成的区域即为有效的投资方式。和问题一一样，当投资者投资的目的是确保一定利润的同时极力避免风险时。按照当前题目所给银行利率为2.75%，则收益率大于银行利率，同理：由已知条件得目标函数为：1234512345225minxxxxxZxxxxx++++=++++化简得：12345min0.20.20.10.10.5Zxxxxx=++++同理约束条件为：（1）银行经理有1000万元资金需要投资，则资金约束为：1234510xxxxx++++=（2政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，则有2344xxx++≥（3）确保所得收益率大于税后银行利息123450.0430.0270.0250.0220.0450.275xxxxx++++≥（4）所购证券的平均到期年限不超过5年,年限限制为12345123459154325xxxxxxxxxx++++≤++++化简得：12345410230xxxxx+−−−≤（5）五种证券类型的投资金额非负，即123450,0,0,0,0xxxxx≥≥≥≥≥5.2.1模型的建立在确保一定利润的情况下，得到最小风险的目标函数为：12345min0.20.20.10.10.5Qxxxxx=++++12345234123451234512345104.0.0430.0270.0250.0220.0450.2754102300,0,0,0,0xxxxxxxxstxxxxxxxxxxxxxxx++++≤⎧⎪++≥⎪⎪++++≥⎨⎪+−−−≤⎪⎪≥≥≥≥≥⎩5.2.2模型求解利用LINGO9.0解得这次投资的最小平均信用等级为1.139。五种证券类型投入的资金方法如下表：表4五种证券类型投资资金证券类型ABCDE最大收益投资金额(万元)138.890861.110027.5显然这是一种极端保守的投资方式，风险极小，但收益也不大，为27.5万元。综上所述，可得理性的投资可行范围如下表说述：表5五种证券类型投资资金范围证券类型ABCDE平均信用等级最大收益投资金额(万元)218.180736.36045.461.429.84投资金额(万元)138.890861.11001.13927.5从表中可以看出两点:（1）随着投资期望收益的增加，从27.5万到29.84万，投资的风险也迅速增加，从1.139(平均信用等级)很快增加到1.4。（2）组合证券能有效地降低风险.例如单项证券中最保险的C类证券，仅能获得25万的收益。同理，可得当最低收益率分别为28%、28.5%、29%、29.5%、29.84%时的最小平均信用等级。可得表格如下：表6不同收益率下的五种证券类型投资方案证券类型ABCDE平均信用等级收益218.180736.36045.461.40029.84213.240753.68033.081.35029.5205.880779.41014.711.26529.0194.440805.56001.19428.5166.670833.33001.16728.0投资方式138.890861.11001.13927.5由表中所给数据，采用曲线拟合可得收益和平均信用等级曲线，如下：图1收益和平均信用等级曲线从图中曲线走势可以看出投资的风险和收益是同步增大的，对于保守的投资者，其投资方案一般会偏向曲线的左下部分，而冒险者则会偏向右上部分。具体投资方案将依照投资者心中风险与收益的偏好权重来决定。问题二的模型建立及求解在求解问题二前先介绍两个名词：影子价格[1][6]，对偶单纯形法[1]。影子价格，又称影子利率，用线性规划方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格，可以利用对偶单纯形法求解。对偶单纯形法（dualsimplexmethods）是线性规划的重要内容，其理论基础是对偶理论（dualtheorem）。对偶理论的主要内容是：对于每一个线性规划问题（P），称之为原问题，总存在与它“对偶”的另一个线性规划问题（D），称之为对偶问题。对偶定理：假设问题P、问题D中有一个存在最优解，则另一个也一定有最优解，并且它们的最优值相等。6.1模型建立对问题一中线性规划模型利用对偶理论求解：问题（P）123450.0430.0270.0250.0220.045MAXZxxxxx=++++12345234123451234512345104.66443604102300,0,0,0,0xxxxxxxxstxxxxxxxxxxxxxxx++++≤⎧⎪++≥⎪⎪+−−+≤⎨⎪+−−−≤⎪⎪≥≥≥≥≥⎩相应的对偶问题写为：问题（D）12104MINWyy=−124123412341234134340.0433100.02720.025.220.0221830.0450,(1,2,,3,4)iyyyyyyyyyyystyyyyyyyyi++≥⎧⎪−++≥⎪⎪−−−≥⎪⎨−−−≥⎪⎪+−≥⎪≥=⎪⎩6.2模型求解最终解得对偶问题的最优解为0(0.0298,0,0.00124,0.00236)Y=，经理最大获利为29.83万元，其中*10.0298y=代表投入资金的估价，这种估价是针对企业的具体产品（这里是投资成本）而存在的一种潜在价格也称为“影子价格”（Shadowprices）。由影子价格知：在其他条件不变的情况下，若投入资金增加100万元，该经理按最优方案可以多获利2.98万元。大于以2.75％的利率借到l00万元资金的利息2.75万元，所以应借贷。利用极限思想，当借贷利率为2.98%时，借贷100万元需利息2.98万元，而资金增加100万元，收益也增加2.98万元，故最后所得利益不增加，应停止借贷。所以利率在()0,0.0298范围内变化时，投资方案不改变。7.模型的检验7.1问题一模型的检验对于问题一中线性规划模型我们可以利用目标规划模型[2]进行检验，以下是目标规划模型的建立与求解。若我们将问题的三个条件限制看