第5章考虑内生流动性风险的VaR(证券市场微观结构理论-

第5章流动性风险管理在股票价格服从几何布朗运动的假设下，同时考虑了股票波动性、股票流动性、投资者变现行为、头寸规模等因素对投资者所面临市场风险的影响，并允许投资者选择任意的目标头寸规模，而且，指标所用到的参数都可以利用实证数据进行测算，设计考虑内生流动性风险的VaR这一指标，较好的实现了理论研究与实践应用的衔接。首先给出考虑内生流动性风险的VaR——（LiquidityriskincorporatedValueatRisk，）的定义：定义1考虑内生流动性风险的VaR是指给定置信水平和持有期，投资者采用某种交易策略对一定头寸规模的资产进行变现时的最大变现损失从以上定义可以看出，影响VaR的因素，如资产波动性、相关性等，都会对考虑内生流动性风险的VaR这一指标产生影响；另外，该指标还与投资者所采用的交易策略和头寸规模密切相关；并且下面的分析还将表明，资产的流动性也将对指标值产生重要影响，而这几个因素在传统的VaR中都是被忽略的。流动性的影响主要通过其对变现损失的影响来实现的对于一名投资者而言，如果他被迫在较短时间内变现其资产，那么其资产价值在变现前后的差值，即执行成本，也将受到波动性风险和流动性风险两方面因素的影响，而实质上是在一定置信水平下的最大变现损失。这样,的计算可以归结为投资者资产价值在变现前后差值的计算，因此在给出之前将首先计算执行成本；另外，为直观起见，将从组合中只包括单种股票的特殊情况出发，计算执行成本，而后推广至多种股票的情况。LrVaRLrVaR离散时间几何布朗运动算术布朗运动()kpk()(1)kpkpk连续时间几何布朗运动算术布朗运动()tdptdB()()tdptptdB5.1算术布朗运动情况下的模型1、模型的有关假设考虑一名投资者在当前零时刻持有一种股票，其头寸为，他对该股票准备长期持有的保留头寸为，一旦由于外生冲击不得不变现股票时，投资者将会在持有期第个交易日结束时仍持有股票头寸，即将在持有期内变现X-Y的股票。XYT将(0,T)期间等分为K个足够小区间，每个区间长度为，定义在时刻，k=1,…，K，该投资者持有的股票头寸为x(k)。则在零时刻，股票头寸为x(0)=X，在T时刻，股票头寸为x(K)=Y。/TKk显然，投资者可以通过选择在时刻持有的股票头寸来确定交易策略，从而可以将在变现期(0,T)期间随时间变化的股票头寸x(k)等价于投资者的交易策略，同时定义在期间内头寸变化为，交易速度，则交易速度同样也可以等价为交易策略。k((1),)kk()()(1)xkxkxk()()xkvk()vk假定在（0，T）期间股票价格，，服从无漂移的算术布朗运动：()pk1,,kK()kpk（1）其中为在期间内股价的变动。()()(1)pkpkpk((1),)kk3交易对价格冲击的引入当投资者对组合中的股票进行持续的卖出交易时，股票价格将承受向下的价格冲击。这种冲击可分解为永久冲击和瞬时冲击两部分：永久冲击使得股票的均衡价格发生改变，在股票价格决定的模型中表现为价格运动的微分方程中增加一负向漂移项；瞬时冲击使得股票的供给和需求在瞬间出现不平衡，股票成交价格与交易前的市场价格存在一定的差额，而一旦下一笔相反方向的指令到达，股票价格就会回到原来的均衡水平。记为永久冲击系数，表示每出售一单位的股票使得股票均衡价格下降的幅度，同时假定永久冲击系数在变现期间为常数，且永久价格冲击为线性的，得到新的价格运动微分方程：（2）()()kpkvk式（2）中右边第一项即为投资者的卖出交易引发股票均衡价格的改变，可以看出交易对价格的永久冲击与期间内投资者的头寸变化成正比，比例系数为。则在时刻，股票价格为：（3）()vk()()xkvkk1()(0)(())kmmpkpXxk瞬时冲击使交易者的成交价格与股票在该时刻的价格之间存在一个差额，记为瞬时冲击系数，表示每出售一单位的股票在瞬间推动股票价格下降的幅度，同样假定该系数在变现期间不发生改变，且瞬时价格冲击为线性的，得到：（4）()pk()pk()()()pkpkvk式（4）中右边第二项即为投资者的卖出交易使成交价格和市场价格之间出现的差异，可以看出这一差异与单位时间内头寸的变化成正比，比例系数为。()vk()()xkvk则在时刻，交易者的成交价格为：（5）k1()(0)(())()kmmpkpXxkvk式（3）表明，变现过程中股票价格由两部分组成：第一部分为初始时刻的股票价格，第二部分为交易对价格的累计永久冲击成分；式中（5）显示，瞬时冲击只会在瞬间影响交易者的成交价格。3、变现损失的计算投资者变现股票时，在任一时间区间内，其所持有现金的变化量为股票头寸的变动量与成交价格之间的乘积：（6）((1),)kk()TCk()()(())TCkpkxk将式（5）代入式（6），得：（7）1()[(0)(())()](())kmmTCkpXxkvkxk在整个变现期间（0，T)，投资者所持有现金的变化量为：(8)111()[(0)(())()](())KkKkmkmTCTCkpXxkvkxk在T时刻，投资者剩余头寸的价值为：(9)1()()[(0)(())]()KmmpKxKpXxKxK定义投资者执行成本EC为期初资产总值与期末资产总值之差：(10)(0)(0)(()())ECpxpKxKTC将式(8)、(9)代入式(10)：(11)222211112222211111(0)[(0)()(())()()()22(0)()()(())]111()()()222KKKmmkkKmmKKKmmkkECpXpXYxmYXYvkvkpYxKxKXxKxmXYvkvk由式(11)可以看出，投资者的执行成本是一个与交易策略，，有关的随机变量。至此，我们已经得到在单种股票情况下投资者执行成本的表达式。下面，我们将在股票价格服从几何布朗运动的情况下计算投资者的执行成本。()xk0,,kKLrVaR5.2单种股票情况下的执行成本1、模型的有关假设考虑一名投资者在当前零时刻持有一种股票，其头寸为，他对该股票准备长期持有的保留头寸为，一旦由于外生冲击不得不变现股票时，投资者将会在持有期第个交易日结束时仍持有股票头寸，即将在持有期内变现X-Y的股票。XY将(0,T)期间等分为K个足够小区间，每个区间长度为，定义在时刻，k=1,…，K，该投资者持有的股票头寸为x(k)。则在零时刻，股票头寸为x(0)=X，在T时刻，股票头寸为x(K)=Y。/TKk显然，投资者可以通过选择在时刻持有的股票头寸来确定交易策略，从而可以将在变现期(0,T)期间随时间变化的股票头寸x(k)等价于投资者的交易策略，同时定义在期间内头寸变化为，交易速度，则交易速度同样也可以等价为交易策略。k((1),)kk()()(1)xkxkxk()()xkvk()vk假定在（0，T）期间股票价格，，服从无漂移的几何布朗运动：()pk1,,kK()(1)kpkpk（12）其中为在期间内股价的变动。()()(1)pkpkpk((1),)kk2、交易对价格冲击的引入当投资者对组合中的股票进行持续的卖出交易时，股票价格将承受向下的价格冲击。这种冲击可分解为永久冲击和瞬时冲击两部分：永久冲击使得股票的均衡价格发生改变，在股票价格决定的模型中表现为价格运动的微分方程中增加一负向漂移项；瞬时冲击使得股票的供给和需求在瞬间出现不平衡，股票成交价格与交易前的市场价格存在一定的差额，而一旦下一笔相反方向的指令到达，股票价格就会回到原来的均衡水平记为永久冲击系数，表示每出售一单位的股票使得股票均衡价格下降的幅度，同时假定永久冲击系数在变现期间为常数，且永久价格冲击为线性的，得到新的价格运动微分方程：()()(1)kpkvkpk（13）式（13）中右边第一项即为投资者的卖出交易引发股票均衡价格的改变，可以看出交易对价格的永久冲击与期间内投资者的头寸变化成正比，比例系数为。()vk()()xkvk则在时刻，股票价格为：（14）k11()(0)(1)()(1)kkkmmmmmpkpvm瞬时冲击使交易者的成交价格与股票在该时刻的价格之间存在一个差额，记为瞬时冲击系数，表示每出售一单位的股票在瞬间推动股票价格下降的幅度，同样假定该系数在变现期间不发生改变，且瞬时价格冲击为线性的，得到：（15）()pk()pk()()()pkpkvk式（15）中右边第二项即为投资者的卖出交易使成交价格和市场价格之间出现的差异，可以看出这一差异与单位时间内头寸的变化成正比，比例系数为。()vk()()xkvk则在时刻，交易者的成交价格为：（16）k11()(0)(1)()(1)()kkkmmmmmpkpvmvk式（14）表明，变现过程中股票价格由两部分组成：第一部分为初始时刻的股票价格，第二部分为交易对价格的累计永久冲击成分；式中（16）显示，瞬时冲击只会在瞬间影响交易者的成交价格。3、变现损失的计算投资者变现股票时，在任一时间区间内，其所持有现金的变化量为股票头寸的变动量与成交价格之间的乘积：（17）((1),)kk()TCk()()(())TCkpkxk将式（16）代入式（17），得：（18）11()((0)(1)()(1)())(())kkkmmmmmTCkpvmvkxk在整个变现期间（0，T)，投资者所持有现金的变化量为：(19)1111()((0)(1)()(1)())(())KkkKkkmmmkmmTCTCkpvmvkxk在T时刻，投资者剩余头寸的价值为：(20)11()()((0)(1)()(1))()KKkmmmmmpKxKpvmxK定义投资者执行成本EC为期初资产总值与期末资产总值之差：(21)(0)(0)(()())ECpxpKxKTC将式(19)、(20)代入式(21)：(22)11111(0)(0)((0)(1)()(1))()((0)(1)()(1)())(())KKkmmmmmkKkkmmmkmmECpxpvmxKpvmvkxk由式(22)可以看出，投资者的执行成本是一个与交易策略，，有关的随机变量。至此，我们已经得到在单种股票情况下投资者执行成本的表达式。下面，我们将在组合中包含多种股票的情况下计算投资者的执行成本，以便为统一计算作好准备。()xk0,,kKLrVaR5.3多种股票情况下的执行成本1、模型的有关假设考虑一名投资者在零时刻持有由N种股票组成的组合，为第n种股票的头寸规模，则该投资者的初始组合为。他对组合中股票准备长期持有的头寸为，一旦由于外生冲击不得不变现股票时，投资者将会在持有期第T个交易日结束时保持组合的头寸为。nX1(,,)NXXX1(,,)NYYY1(,,)NYYY定义在时刻，，，该投资者持有的组合头寸为。则在0时刻，组合头寸为，在T时刻，组合头寸为。k0,,kKTK1()((),,())Nxkxkxk1(0)(,,)NxXX由于投资者可以通过选择在时刻持有的组合头寸来确定交易策略，从而可以将在变现期(0,T)期间随时间变化的组合头寸等价于投资者的交易策略，同时