第七章(二) 股票期权价格性质

第七章股票期权价格的性质教学目的与要求：本章对股票价格的相关性质进行了系统介绍。通过本章的学习，要求掌握影响期权价格的因素有哪些，期权价格上下限的确定，提前执行不付红利的股票看涨和看跌期权的可行性，看涨和看跌期权的平价关系以及红利对股票期权价格上下限的影响教学重难点：一、无风险利率对期权价格的影响二、提前执行无收益资产美式看涨期权的合理性三、提前执行无收益美式看跌期权是否合理。一、期权价格的影响因素（一）概述期权价格的影响因素有以下六个因素，它们通过影响期权的内在价值与时间价值来影响期权的价格。1、标的资产的市场价格2、期权的执行价格3、期权的有效期4、标的资产的波动率5、无风险利率6、标的资产有效期内预计发红利一个变量增加而其它变量保持不变时对期权价格的影响变量欧式看涨期权欧式看跌期权美式看涨期权美式看跌期权标的资产价格＋－＋－执行价格－＋－＋期权的有效期??＋＋波动率＋＋＋＋无风险利率＋－＋－红利－＋－＋（二）标的资产的市场价格与期权的协议价格1、看涨期权：标的资产价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格越高。因为在执行时，其收益等于标的资产当时的市价与协议价格之差。2、看跌期权：标的资产价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格越高。因为在执行时，其收益等于协议价格与标的资产当时市价之差。（三）期权的有效期1、美式期权：有效期越长，无论是看涨期权还是看跌期权，价值都会越高。因为有效期较长的期权执行的机会一定包含有效期较短的期权的执行机会。2、欧式期权：随着有效期的增加，欧式期权的价值并不一定必然增加。因为有效期较长的期权执行的机会不一定包含有效期较短的期权的执行机会。（四）标的资产的波动率股票价格波动率是反映未来股价变动的不确定性。随着波动率增加，股票上涨到很高和下跌到很低的机会增大，对多方和空方的影响不对称。当股价上涨时，波动率越大，对看涨期权的多头越有利，空头越不利；对看跌期权的多头和空头影响都不大；当股价下跌时，波动率越大，对看跌期权的多头越有利，空头越不利；对看涨期权的多头和空头影响都不大总之，波动率越大，对期权多头越有利，对期权空头越不利，期权价格也应越高。（五）无风险利率从比较静态的角度，比较不同利率水平下的两种均衡状态。体现在对预期收益率和贴现率的影响上：（1）对预期收益率的影响：如果一种状态下无风险利率水平较高，则标的资产的预期收益率也应较高，这意味对应于标的资产现在特定的市价S0，未来预期价格E（ST）较高。（2）对贴现率的影响：如果一种状态下无风险利率水平较高，则贴现率较高，未来同样预期盈利的现值就较低。（六）标的资产的收益由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而执行价格并未进行相应的调整，因此在期权有效期内标的资产的收益将使：看涨期权的价值(通过标的资产价格变动)与预期红利大小成反向变动；看跌期权的价值(通过标的资产价格变动)与预期红利大小成正向变动。二、期权头寸的损益（一）期权头寸1、空头与多头多头：是持有期权多头头寸的投资者（购买期权合约的一方）。空头：是持有期权空头头寸的投资者（出售或承约（written）期权合约的一方）。期权的出售方事先收取现金，但之后有潜在的负债。2、四种基本的期权头寸看涨期权的多头；看涨期权的空头；看跌期权的多头；看跌期权的空头。（二）期权合约的损益（不考虑期权费）1、看涨期权多头的损益Max(ST-X,0)收益0STX2、看涨期权空头的损益-max(ST-X,0)=min(X-ST,0)收益STX03、看跌期权多头的损益Max(X-ST,0)收益STX04、看跌期权空头的损益-max(X-ST,0)=min(ST-X,0)收益STX0X（三）期权合约的损益（考虑期权费）1、看涨期权多头的损益Max(ST–X-C,-C)收益0SX-CX+C2、看涨期权空头的损益min(X-ST+C,C)收益0SXCX+C3、看跌期权多头的损益Max(X-ST-P，-P)收益STXX0P批PP-PX-p4、看跌期权空头的损益min(ST-X+P,P)收益STXX0P批PPPX-P三、期权的实值、虚值与两平状态（一）有关概念1、实值期权是指如果期权立即履约，持有者具有正值的现金流。2、两平期权是指如果期权立即履约，持有者的现金流为零。3、虚值期权是指如果期权立即履约，持有者的现金流为负。SXS=XSX看涨期权实值期权两平期权虚值期权看跌期权虚值期权两平期权实值期权（二）期权的内在价值与时间价值期权价格（或者说价值）=期权的内在价值+期权时间价值1、期权内在价值期权的内在价值（IntrinsicValue）是指多方行使期权时可以获得的收益现值。下图中，D是期权有效期内标的资产现金收益的现值。看涨期权看跌期权欧式期权无收益Max{（S-Xe-r(T-t)），0}Max{（Xe-r(T-t)-S），0}有收益Max{（S-D-Xe-r(T-t)），0}Max{（Xe-r(T-t)+D-S），0}美式期权无收益Max{（S-Xe-r(T-t)），0}Max(X-S，0)有收益Max{（S-D-Xe-r(T-t)），0}Max(X+D-S，0)备注提前执行是不合理的提前执行可能是合理的2、期权的时间价值（1）期权的时间价值（TimeValue）:是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。（2）时间价值的变化规律：A：在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况）：期权的边际时间价值为正。B：期权的边际时间价值递减：随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的。即:对于到期日确定的期权来说，在其它条件不变时，随着时间的流逝，其时间价值的减少是递增的。（3）时间价值的影响因素A：标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大；B：期权的时间价值还受期权内在价值的影响：期权现在立即执行时所获得价值的绝对值越大，期权的时间价值越小。①下面以例子说明期权内在价值与时间价值的关系，以无收益看涨期权为例：a.假设A股票（无红利）的市价为S=9.05,A股票有A1，A2，A3三种看涨期权，其协议价格分别为：X1=10元，X2=8元，X3=12元。它们的有效期都是1年，1年的无风险利率是10%（连续复利）。证明：S-Xe-r(T-t)的值越小，其时间价值越大。分析：由已知条件列出下表：从上表可知：A1的S-Xe-r(T-t)值最小，其时间价值应在三种期权中最大。市场价格S=9.05;利率（连续复利）=10%;时间T-t=1期权协议价S-Xe-r(T-t)S-Xe-r(T-t)内在价值Max{（S-Xe-r(T-t)），0}A110000A281.811.811.81A312-1.811.810b.证明：假定A1，A2，A3三种看涨期权它们的时间价值相等，都是2元。那么：期权协议价期末时，期权在不同市场情况下的损益ST=14执行ST=10执行ST=8执行A11014-10-2e0.1=1.79执-2e0.1=-2.21不-2e0.1=-2.21不A2814-8-2e0.1=3.79执10-8-2e0.1=-0.21执-2e0..1=-2.21不A31214-12-2e0.1=-0.21执-2e0.1=-2.21不-2e0.1=-2.21不比较期权A1、A2，因为A1的价值在各种情况下都优于或等于A2，显然A1的时间价值不应该等于而应高于A2。同样：比较期权A1、A3，因为A1的价值在各种情况下都优于或等于A3，显然A1的时间价值不应该等于而应高于A3。即：S-Xe-r(T-t)越小，时间价值越大。c.分析：设I=S-Xe-r(T-t)，期权的内在价值部分所考虑的标的资产价格ST变动的范围是区间：（-I+Xe-r(T-t)，I+Xe-r(T-t)）若I越大，该区间的范围越大，期权的内在价值部分所考虑的标的资产价格ST变动的范围越大。同时由于期权价值有其上限（不会高于现货价值）。时间价值考虑的标的资产的未来价格ST超出这个范围的可能性性越小，即在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值越小。因此时间价值越小。d.无收益资产看涨期权的时间价值与标的资产价格的关系图：时间价值资产价格SS-Xe-r(T-t)②各种期权时间价值最大的条件看涨期权看跌期权欧式期权无收益S=Xe-r(T-t)S=Xe-r(T-t)有收益S=D+Xe-r(T-t)S=Xe-r(T-t)-D美式期权无收益S=Xe-r(T-t)S=X有收益S=D+Xe-r(T-t)S=X-D例：DGB股票为每股$43，张先生支付了3.5的股权市值（即一手$350）购买了一个DGB股票在4月到期的履约价格为$40的买入期权合约。即：BuyDGBApril40Call@3.5则：内在价值=股票市价-履约价格=$43-$40=$3时间价值=股权市值-内在价值=$3.5-$3.0=$0.5四、期权价格的上下限（一）变量定义：S：标的资产当前的市场价格ST：标的资产到期日价格X：期权执行价格T：期权的到期时间t：当前的时间r：T-t时期内投资的无风险利率（连续复利）C：美式看涨期权的价值P：美式看跌涨期权的价值c:欧式看涨期权的价值p:欧式看跌涨期权的价值ó:标的资产价格的波动率（二）期权价格的上限1、对于美式和欧式看涨期权，标的资产价格是看涨期权价格的上限。即在任何时刻期权的价值都不会超过股票的价值：c≤S和C≤S假若上式不成立，即CS或cS，就会存在套利机会。下面我们以欧式看涨期权为例来说明这种明显的套利机会：例：假定某股票看涨期权的期权费为10元，股票当前价格为8元，距离到期日还有1年，无风险利率为10%.根据本题条件：c=10,S=8，T-t=1，r=10%.则存在如下套利机会：套利者在t时购买股票并卖出相应的期权，即可获得一笔净现金流入C-S＝２元。到Ｔ时刻的本息为：２＝2.21元．至到期日Ｔ时，如果股票市场价格高于执行价格，则多方执行期权．假定执行价格为９元，套利者将t时购买的股票以９元卖出．总共获利为：9+2.21==11.21元；如果股票市场价格低于执行价格，则多方放弃执行期权．假定股票市场价格为8.5元，套利者在Ｔ时的总获利为：8.5+2.21==10.71元；1%10e2、看跌期权价格的上限（1）美式看跌期权美式看跌期权价格P的上限为X，无论股票价格多低，期权的价值都不会超过X。P≤X（2）欧式看跌期权欧式看跌期权价格p在T时不能超过X，贴现到现在，即p不能超过X的现值：p≤Xe-r(T-t)假如不存在上述关系，即pXe-r(T-t)则存在如下套利机会：卖出期权并将所得以无风险利率投资，到期可得p，如果多方到期执行，套利者需要支付X，假定股票的市场价格为S,由于pXe-r(T-t)，因此，套利者可获得:p+S-X的净额为无风险收益；如果多方到期放弃执行期权，套利者将获得无风险收益p．)(tTre)(tTre)(tTre（三）期权价格的下限1、欧式看涨期权价格的下限（1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限为了推导出期权价格的下限，我们考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为Xe-r(T-t)的现金组合B：一单位标的资产在T时刻：组合A中：如果现金按无风险利率投资,则在T时刻将变为X，即等于协议价格。此时多头是否执行看涨期权，取决于T时刻标的资产价格ST是否大于X。若STX，则执行看涨期权，组合A的价值为ST；若ST≤X，则不执行看涨期权，组合A的价值为X。因此，在T时刻，组合A的价值为：max(ST,X)在组合B中，T时刻的价值为ST。由于max(ST,X)≥ST。在t时刻：组合A的价值也应大于等于组合B，即：c+Xe-r(T-t)ScS-Xe-r(T-t)由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：cmax[S-Xe-r(T-t),0]