第8章 动态证券价格与金融衍生资产定价

115第八章动态证券价格与金融衍生资产定价第7.3节在时间作离散变化的模型中分析了欧式买权的二项式定价问题，这一章我们要在时间作连续变化的前提下，论述金融衍生资产定价的一般模型。利用这个一般的模型，我们可以很方便地得到著名的布莱克－斯科尔斯（Black-Scholes）期权定价公式。金融衍生资产泛指定义在普通公司证券或政府证券之上的状态依存索取权，期权仅是其中的一种。毫无疑问，衍生资产的价值随其标的资产价格的变动而变动。要对一份金融衍生契约定价，了解（或假设）标的资产的价格变化过程是必不可少的一环。第8.1节解释普通证券价格随时间变化而呈现出的随机变化性质，简要介绍了相关的随机过程知识。第8.2节讨论随机变量下的微分和积分（伊藤积分），并介绍伊藤引理。伊藤引理是连接衍生证券价格变化过程与标的资产价格变化过程的桥梁，在现代衍生资产定价理论和实践中都起着极其重要的作用。第8.3节利用伊藤引理和无套利原理推导布莱克－斯科尔斯买权定价公式，并讨论这一公式与上一章二项式定价公式之间的联系。第8.4节提供布莱克－斯科尔斯公式的一个应用实例。第8.5节则通过等价鞅从另一角度推导了布莱克－斯科尔斯公式，这为我们提供了另一重要的衍生证券等价模型。8.1动态证券价格与随机过程性质假设时间在],0[上作连续变化，让我们考虑一种普通证券的价格变化。从目前)0(t来看，未来任何时刻0t的证券价格)(tS都是不确定的，是一个随机变量。证券价格随时间的变化而作随机变化的过程],0[),(ttS在数学上称为随机过程。随着时间t的推移，投资者可以观察到该证券的连续变化。仍以)(tS记投资者在时刻t实际观察到的市场价格，这称为随机过程],0[),(ttS在此时的实现值（realization），或者称为该随机过程的一个样本（sample）。自然，在时刻0t，投资者只能观察到该时刻及之前的)(tS值，0tt的价格只有根据以往的价格和其他相关的信息进行猜测。记)(tI是投资者在时刻t能够（无成本）获得的有助于他推断证券未来价格的所有信息组成的集合。)(tI除了时刻t及之前的证券价格本身外，还包括到那时为止所公布的政府宏观经济政策和经济发展指标、相关企业和行业的经营状况等。由于投资者是有记忆的，这意味着当Tts时，必定有)()()(TItIsI随着时间t不断推移，],0[),(ttI构成一个连续的信息流。在时刻t，投资者将根据现有的信息推断未来某一时刻)0(uut的证券价格，这116可以以条件期望来表示：)]()([)]([tIutSEutSEt（8.1）等式左端的tE是条件期望算子，意思是在给定信息)(tI的前提下求随机变量)(utS的数学期望。条件期望算子具有通常的（无条件）数学期望算子的所有性质，如)]([)]([)]()([utYEutXEutYutXEttt除此之外，它还满足复式条件期望法则（iterativerule）：如果ts，则tsEEEsts,（8.2）这是因为，如果你希望以现在可得的信息)(sI，预测某一未来时刻st对更远的未来——譬如说时刻T的预测值)(TS，由于你除了)(sI外没有更多的信息，你最好的预测值仍然是)]()([)]([sITSEISEs。在衍生资产定价理论中，我们通常对标的证券在某一有限时段],0[T上的变化过程感兴趣。一个随机过程在],0[T上的实现值所组成的集合称为它在该时段上的轨迹（trajectory），或者称为一个样本函数（samplefunction）。具体到证券价格随机过程)(tS，其样本函数表现为证券价格在某时段上的历史曲线。在任何时刻)(,0tSt都是随机变量，它根据内在的概率取特定的值，而我们实际观察到的价格历史曲线仅是多种可能形状（有时是无穷多种）中的一种。要完整描述一个随机过程，需要知道出现每一种特定轨迹（或样本函数）的概率分别是多少，简单地说就是需要知道样本函数服从的概率分布。为了行文简洁，我们将简单地将样本函数服从的概率分布表述为“随机过程服从的概率分布”。下面继续分析证券价格的变动性质。考虑一个有限时段],0[T，选择1n个相同时间间隔的时点观察并记录证券的价格，这相当于将时段],0[T作n等分：Ttttn100记每次观察间隔为h：nTtthkk1从而khtk将时刻kt观察到的证券价格记为nkkhSSk,,1,0),(利用（8.1）式定义的条件期望算子tE，在时刻1kt，市场关系者对证券在下一期的价格变化的预测值简记为117][][][111111kktkkkktkkkISSESSESSE到了时刻kt，市场给出kS，从而我们可以计算实际的价格增量1kkSS，计算结果当然会与上一期所作的预测有所出入。记这二者间的差为][][111kkkkkkSSESSW（8.3）kW是1kkSS中不可预测的那一部分，因为在时刻1kt总有0][][][11111kkkkkkkkSSESSEWE（8.4）定义一个新的随机过程：kiikWW1（8.5a）并令00W（8.5b）这样定义的kW满足：1111111111][][kkiikkkiikkiikkk（8.6）第三行的前一等号成立是因为（8.4）式，并且利用了给定信息1kI时)1,,1(kiWi都是已知的这一事实。利用复式条件期望法则（8.2）式，由（8.6）式可以进一步得到212122][][][kkkkkkkkWWEWEEWE一般地，我们有knjnkWWEkjkk0,0][（8.7）对照这个性质，现在我们引入一种重要的随机过程：定义满足下列条件的随机过程)(tS称为对应信息流)(tI的一个鞅（martingale）：(1)给定信息)(tI，)(tS是已知的；(2))(tS的无条件期望是有界的，即)]([tSE；(3)0),()]([utSutSEt。这个定义中，条件(1)是说给定时刻t的信息)(tI，可以观察到该过程的实现值；条件(2)表示在任何情况下，)(tS的期望值都不可能无限地膨胀；条件(3)是鞅的关键，它要求在任何时点，对未来最好的预期值就是当前的观察值。这并不是说未来)(tS不会作上118下波动（否则它就不是一个随机过程了），而是说我们根本不可能预测它波动的方向和大小。无论是在长期还是短期，如果一个随机过程的轨迹呈明显的上升或下降趋势，它就不是一个鞅。由性质(8.7)式，我们知道（8.5a）—（8.5b）式定义的kW实际上是一个（离散）鞅。鞅在现代金融理论中占据非常重要的位置，稍后我们将对其性质和应用作简单的讨论，但现在我们希望对（8.3）式定义的kW作进一步分析。将kW的（无条件）方差记为kV：20][][kkkWEWVarV因为有0)(00wwEk式（8.7）故0)()(1011010wEwEwEii0)()()()(2201021020wEwEwEwEwEii0)()()(33021031030wEwEwEwEwEiiii故一般有0)(0kwE于是20200)(kkkkwEwEwEwVar这里)(0E是0t时的期望算子，所有kW之和的方差记为V：因][00jkkkjkkwwEEwwEnkjjwEEwEwEEwEwEwEkkkjkjkkkjkkk,100)0()]([][00100nkknkkVWEV1210作以下三个假设：条件1存在与n（以及h）无关的1A，使得01AV条件2存在与n无关的2A，使得2AV条件3存在与n无关的)1,0(3A，使得119nkAVVk,,1,3max其中nkVVk,,1,maxmax。条件1的意思是，证券价格的波动是不可完全消除的。由于方差V的下界01A，而且这个下界还与n无关，当我们无穷地细分时段],0[T，观测间隔趋于零（这等价于)n，证券的风险仍然存在。条件2则表示证券价格的波动幅度不会是无穷大。条件3意味着证券市场的不确定性不会完全集中在某一（些）特定时刻附近。应用于实际的证券市场，条件1和条件3不应有任何问题。另外，如果证券价格呈“正常”波动，条件2也基本满足。但是，在少数“不正常”的情况，如美国股市1987年10月的股灾，大多数股票价格在几分钟甚至更短的时间内崩盘性地大跌，某些时点的价格波动幅度可能是无穷大。这里忽略这样的异常情况。命题如果条件1—3成立，则kV与h成比例。换句话说，存在常数0k，使得hWEVkkk22][（8.8）证明：首先，由条件3，kVVAmax3，在所有n个小区间上对这个不等式加总，再利用条件2，有nkkAVVnA12max3将其改写为32max1AAnV而对任何k，显然有maxVVk，注意到hTn/，这就有：hTAAVk32（8.9）另一方面，根据条件1，有nAVnVnkk11max1再次利用条件3，有hTAAnAAVAVk3131max3（8.10）（8.9）和(8.10)两式分别给出了kV的上下界。而且，注意到这两式中h的系数都是与h无关的正数，必然存在一个与h和n无关、只依赖于k的常数k，使得32231TAAnAAk并且hVkk2证毕120将（8.3）式定义的kW除以（8.8）式中正的常数k，仍将其记为kW，这个新的kW满足hWEWVarkk2][][（8.11）相应地，（8.3）式可以写为kkkkkkkWSSESS][111（8.12）不断地细分],0[T，使得0h。我们希望将（8.12）式转化为某种微分形式。自然，由于观察的时间间隔h不断缩短，（8.12）式中的各项都会随h变化。注意到（8.12）式右边第一项是利用信息1kI所作的条件期望，不妨将其记为以下函数形式：][),(111kkkkSSEhIA如果),(1hIAk是关于h的光滑函数，可以展开其在0h附近的泰勒展开式。由于0h，省去泰勒展开式中2h及更高阶的项，得到：hhIaIASSEkkkkk),()0,(][1111（8.13）其中hhIAhIakk),(),(11注意到0][)0,(1111kkkkSSEIA这样就将（8.12）式转化为：kkkkkWhtIaSS],[11（8.14）或者，“套用”通常的微分记号，将nTh/换为dt，则)()(),()(tdWtdttIatdSt（8.15）其中)(tdS和)(tdW分别是)()(tShtS和)()(tWhtW在0h时的缩写。（8.15）式是一个随机微分方程，满足此方程的随机过程)(tS称为扩散过程（diffusionprocess），),(tIat称为飘浮（drift）系数，t称为扩散（diffusion）系数。接下来讨论（8.15）式中)(tW的性质。在前面条件1－3满足的正常情况下，由命题，预测残差kW的方差与时间间隔h成比例，作一个常数调整后可以使得（8.11）式成立：hWEWVarkk2][][。这表明，当观测间隔h很小时，kW的预测外波动可以忽略。这意味着，)(tW是随时间作连续变化的（由于)(tW是随机变量，原则上它可以取任何数值。所以，这里的“连续变化”的含义是“当t充分小时，2))()((tWttWE充分小）。这种有连续样本函数的随机过程称为维纳过程。定义如果一个鞅)(